Такой, например, является дробь $\frac{7823436}{10000}$. Эту дробь можно записать в следующей форме: выписать в строку цифры числителя и отделить запятой справа столько из них, сколько нулей содержится в знаменателе, а именно:
$\frac{7823436}{10000} = 782,3436$.

В такой записи цифры, стоящие слева от запятой, образуют целую часть, а цифры, стоящие справа от запятой, - дробную часть данной десятичной дроби.

Пусть $p/q$ - какое-либо положительное рациональное число. Из арифметики хорошо известен процесс деления, позволяющий представлять число $p/q$ в виде десятичной дроби. Сущность процесса деления состоит в том, что сначала находят, какое наибольшее целое число раз $q$ содержится в $p$; если $p$ - кратное $q$, то на этом процесс деления и заканчивается. В противном случае, появляется остаток. Далее находят, сколько в этом остатке содержится десятых долей $q$, и на этом шаге процесс может закончиться, либо появится новый остаток. В последнем случае находят, сколько в нем содержится сотых долей $q$, и т. д.

Если знаменатель $q$ не имеет никаких других простых делителей, кроме 2 или 5, то через конечное число шагов остаток окажется равным нулю, процесс деления закончится и данная обыкновенная дробь обратится в конечную десятичную дробь. В самом деле, в указанном случае всегда можно подобрать такое целое число, что после умножения на него числителя и знаменателя данной дроби получится равная ей дробь, у которой знаменатель будет представлять натуральную степень десяти. Такой, например, является дробь
$\frac{59}{40} = \frac{59}{2^{3} \cdot 5}$,
которую можно представить так:
$\frac{59}{40} = \frac{59 \cdot 5^{2}}{2^{3} \cdot 5 \cdot 5^{2}}= \frac{59 \cdot 25}{(2 \cdot 5)^{3}}= \frac{1475}{1000}= 1,475$.

Однако, не производя этих преобразований, разделив числитель на знаменатель, читатель получит тот же результат: $59/40 = 1,475$.

Если знаменатель несократимой дроби имеет по меньшей мере один простой делитель, отличный от 2 или 5, то процесс деления $p$ на $q$ не закончится никогда (никакой из очередных остатков в нуль не обратится).

Пример:
$\frac{965}{132} = \frac{965}{2^{2} \cdot 3 \cdot 11}$.
Выполнив деление, найдем
$ \frac{965}{132} = 7,310606 \cdots$
Для записи результата, получаемого в этом примере, периодически повторяющиеся цифры 0 и 6 заключают в круглые скобки и пишут:
$ \frac{965}{132} = 7,31 (06)$.
В этом примере и в других подобных случаях действие деления не приводит к окончательному результату в виде десятичной дроби.
Таким образом, всякая обыкновенная дробь $p/q$ представляется конечной или бесконечной периодической десятичной дробью. Замечательно, что и, обратно, всякая периодическая десятичная дробь представима в виде обыкновенной дроби. Покажем, как выполняется это действие. При этом используется формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Запись
$\frac{965}{132} = 7,31 (06)$
можно понимать так:
$\frac{965}{132} = 7,31 + \frac{6}{10^{4}} +\frac{6}{10^{6}} + \frac{6}{10^{8}} + \cdots$;
здесь члены правой части, начиная со второго, образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем $1/10^{2} = 0,01$ и первым членом $6/10^{4} = 0,0006$. Пользуясь формулой:
$S = \frac{a_{1}}{1-q}$,
найдем
$7,31(06) = \frac{731}{100} + \frac{6/10^{4}}{1-1/100} = \frac{731}{100} + \frac{6}{100 \cdot 99} = \frac{1}{100} \left ( 731 + \frac{2}{33} \right ) = \frac{24125}{100 \cdot 33} = \frac{965}{132}$.

Ясно, что этот же процесс позволит любую заданную бесконечную периодическую дробь представить в виде обыкновенной дроби (и, как можно показать, именно той, из которой в процессе деления в свою очередь получается данная бесконечная периодическая дробь). Впрочем, здесь имеется одно исключение. Рассмотрим дробь
$0,4999 \cdots =0,4(9)$
и применим к ней процесс преобразования в обыкновенную дробь:
$0,4(9) = 0,4 + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots$;
находим
$0,4(9) = 0,4 + \frac{9/100}{1 – 1/10} = 0,4 + 0,1=0,5$
- мы пришли к числу 1/2, которое представляется конечной десятичной дробью 1/2 = 0,5.

Сходный результат получится всякий раз, когда период данной бесконечной дроби имеет вид (9). Поэтому мы отождествляем такие пары чисел, как, например,
0,4(9) и 0,5,
2,37 (9) и 2,38
и т. д.

Иногда полезно еще допускать записи вида
$0,5 = 0,5000 \cdots = 0,5(0)$,
представляя формально конечные десятичные дроби как бесконечные с периодом (0).

Все сказанное об обращении обыкновенной дроби в десятичную периодическую дробь и обратно относилось к положительным рациональным числам. В случае отрицательного числа можно поступить двояким образом.

1) Взять положительное число, противоположное данному отрицательному, обратить его в десятичную дробь, а затем поставить перед ней знак минус. Например, для - 5/3 получим
$\frac{5}{3}=1,(6); - \frac{5}{3} = - 1,(6)= - 1,666 \cdots$

2) Данное отрицательное рациональное число представить в виде суммы его целой части (отрицательной) и его дробной части (неотрицательной), а затем обратить в десятичную дробь только эту дробную часть числа. Например:
$- \frac{5}{3} = -2 + \frac{1}{3} = -2 + 0,(3)$,
$- \frac{3}{4} = -1 + \frac{1}{4} = -1 + 0,25$.
Для записи чисел, представленных в виде суммы своей отрицательной целой части и конечной или бесконечной десятичной дроби, принято такое обозначение (искусственная форма записи отрицательного числа):
-2 + 0,(3) = 2,(3).
-1 + 0,25 =1,25.
Здесь знак минус ставится не перед всей дробью, а над ее целой частью, чтобы подчеркнуть, что только целая часть отрицательна, а следующая за запятой дробная часть положительна.

Такая запись создает единообразие в записи положительных и отрицательных десятичных дробей и использована в теории десятичных логарифмов.

Теперь уже можно сформулировать окончательный вывод: всякое рациональное число может быть представлено бесконечной десятичной периодической дробью, и, обратно, всякая такая дробь задает рациональное число. Конечная десятичная дробь допускает также две формы записи в виде бесконечной десятичной дроби: с периодом (0) и с периодом (9).