Умножение комплексных чисел
Деление комплексных чисел
Формула Муавра
Задание комплексных чисел в тригонометрической форме удобно при выполнении над числами действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.
Найдем произведение двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме; пусть
$z_{1} = r_{1} (\cos \phi_{1} + i \sin \phi_{1}), z_{2} = r_{2} (\cos \phi_{2} + i \sin \phi_{2}).$
Получаем
$z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2} [(\cos \phi_{1} \cos \phi_{2} - \sin \phi_{1} \sin \phi_{2}) + i( \sin \phi_{1} \cos \phi_{2} + \sin \phi_{2} \cos \phi_{1})]$.
Выражения, стоящие в круглых скобках, можно упростить:
$\cos \phi_{1} \cos \phi_{2} - \sin \phi_{1} \sin \phi_{2} = \cos (\phi_{1} + \phi_{2})$,
$\sin \phi_{1} \cos \phi_{2} + \sin \phi_{2} \cos \phi_{1} = \sin (\phi_{1} + \phi_{2})$.
Таким образом,
$z_{2}z_{1} = r_{1} r_{2} [\cos (\phi_{1} + \phi_{2}) + i \sin (\phi_{1} + \phi_{2})]$. (1)
Доказано правило: для умножения чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули надо перемножить, а аргументы сложить.
это правило остается верным для любого количества сомножителей.
Пример 1. Найти произведение чисел
$z_{1} = \sqrt[3]{2} (\cos 28^{\circ} + i \sin 25^{\circ}), z_{2} = \sqrt[3]{4} (\cos 35^{\circ} + i \sin 35^{\circ})$
Решение.
$z_{1}z_{2} = sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4} [\cos (28^{\circ} + 35^{\circ}) + i \sin(25^{\circ} + 35^{ \circ})] = 2 (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ}) = 1 + i \sqrt{3}$
Так как деление — действие, обратное умножению, то легко вывести следующее правило:
для выполнения деления двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, следует их модули разделить, а аргументы вычесть:
$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (\phi_{1} - \phi_{2}) + i \sin (\phi_{1} - \phi_{2})]$. (2)
Пример 2. Найти частное от деления числа $z_{1} = 6 (\cos 110^{\circ} + i \sin 110^{\circ})$ на число $z_{2} = 2 (\cos 80^{\circ} + i \sin 80^{\circ})$.
Решение. Находим по формуле (2):
$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{6}{2} (\cos 30^{\circ} + i \sin 30^{\circ}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i$
Используем теперь равенство (1) для возведения произвольного комплексного числа $z = r (\cos \phi + i \sin \phi)$ в натуральную степень $n$. Для этого придется модуль $r$ этого числа взять множителем $n$ раз и аргумент $\phi$ взять слагаемым $n$ раз. Это приводит к равенству
$z^{n} = r^{n} (\cos n \phi + i \sin n \phi)$ (3)
Равенство (3) называется формулой Муавра. Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.
Пример 3. Вычислить $[3 (\cos n \phi + i \sin 40^{\circ})]^{5}$.
Решение. В соответствии с формулой Муавра (3)
$[3 (\cos 43^{\circ} + i \sin 40^{\circ}) ]^{5} = 243 (\cos 215^{\circ} + i \sin 215^{\circ})$
Если число $z$ задано в алгебраической форме $a+bi$, то для возведения его в степень с помощью формулы Муавра надо предварительно записать его в тригонометрической форме.