рис. 1
Допустим, что из вектора $\vec{a}$ надо вычесть вектор $\vec{b}$ (рис. 1а), т. е. найти вектор $\vec{c}$, равный разности $\vec{a} - \vec{b}$.
Когда мы вычитаем одно число из другого, например 5 из 8, мы пишем: 8 - 5 = 3. Но можно написать и так: 8 = 5 + 3. Точно так же равенство $\vec{a} - \vec{b} = \vec{c}$ можно заменить равенством $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$. Поэтому, чтобы найти вектор $\vec{c}$, равный разности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно найти такой вектор, который в сумме с вычитаемым дает вектор уменьшаемый.
Сделать это можно следующим простым способом. Расположим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (не меняя их направления) так, чтобы они исходили из одной точки (рис. 1б). Соединим концы обоих векторов отрезком, направив его от вычитаемого (вектора $\vec{b}$) к уменьшаемому (вектору $a$). Это и есть вектор $c = a - b$. Действительно, как это видно из рисунка, вектор $\vec{a}$ равен сумме векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$, а это и значит, что $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.
Чтобы найти разность двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно расположить их так, чтобы они исходили из одной точки, и соединить концы обоих векторов отрезком, направленным от второго вектора к первому (от вычитаемого к уменьшаемому). Этот направленный отрезок и есть вектор-разность.
рис. 2
рис. 3
По этому же правилу можно вычитать и параллельные векторы (рис. 2, а, б и рис. 3). Анализ этих рисунков показывает, что параллельные векторы можно вычитать один из другого, как будто бы они являются алгебраическими величинами. Для этого нужно одному из направлений приписать знак «+», а другому - знак «-».
Если нам. нужно найти проекцию разности двух векторов, то, так же как и в случае сложения векторов, нет необходимости выполнять геометрические построения.
Действительно, если $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, то $\vec{a} = \vec{c} + \vec{b}$; а так как $a_{x} = c_{x} + b_{x}$ то $c_{x} = a_{x} - b_{x}$.
Следовательно, проекция разности векторов на данную ось равна алгебраической разности их проекций на эту ось.