Алгебраическим уравнением степени $n$ с одной неизвестной $x$ называется уравнение вида
$P_n(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n = 0 (a_0 \neq 0)$ (1)
(т. е. уравнение $f(x) = 0$, в левой части которого стоит ц. р. ф степени $n$ от $х$).
Для алгебраических уравнений принято ставить задачу отыскания всех (вообще говоря, комплексных) корней уравнения. Так как корнями уравнения (1) являются нули (корни) многочлена в его левой части, то можно использовать сведения о целых рациональных функциях и их корнях. Утверждение формулируются применительно к уравнению (1) следующим образом:
1) Каждое уравнение степени $n$ имеет по меньшей мере один корень в комплексной области. Если каждый корень учитывать с его кратностью, т. е. считать за столько корней, какова его кратность, то число корней уравнения равно его степени $n$. При этом говорят, что $x = \alpha$ - корень кратности $k$, если левая часть уравнения делится на $(x - \alpha)^k$ нацело, но не делится нацело на $(x - \alpha)^{k+1}$.
2) Если уравнение (1) имеет комплексный (мнимый) корень $x = \sigma + i \tau$, то и комплексно сопряженное число $\bar {х} = \sigma - i \tau$ является корнем уравнения (кратности обоих сопряженных корней одинаковы).
На протяжении столетий главной задачей алгебры было указание правил решения алгебраических уравнений. С древности известны формулы для решения уравнений первой и второй степени. Итальянскими математиками эпохи Возрождения (Кардано, Тарталья, Феррари) были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени (они громоздки и не имеют большого практического значения). Попытки решения «в радикалах» (т. е. с применением действия извлечения корня) уравнений степени выше четвертой были в общем случае безуспешны. Уже в XIX веке в работах Руффини, Абеля и Галуа было установлено, что не только для корней общего уравнения степени выше четвертой не может быть дано формул, выражающих их в радикалах, но и что корни многих конкретных уравнений с числовыми (например, целыми) коэффициентами не могут быть выражены через радикалы из рациональных чисел.