Напомним, что функция $y = f(x)$ называется четной, если для всех допустимых значений аргумента $x$ имеет место тождество

$f (-x) \equiv f(x)$.

Функция $y = f (x)$ называется нечетной, если для всех допустимых значений аргумента $x$ имеет место тождество

$f (-x) \equiv - f(x)$.

Для тригонометрических функций справедлива следующая
Доказательство. Рассмотрим два угла, образованных единичным радиусом-вектором $\vec{r}$: $\angle AOE = \alpha$ и $\angle AOE_{1} = - \alpha$ (рис.). Заметим, что абсцисса точек $E$ и $E_{1}$ одна и та же $(x)$. Согласно второй формуле $\begin{cases} \sin \alpha = y, \cos \alpha = x \\ tg \alpha = \frac{y}{x}, ctg \alpha = \frac{x}{y} \\ sec \alpha = \frac{1}{x}, cosec \alpha = \frac{1}{y} \end{cases}$, имеем $\cos \alpha = x$ и $\cos (- \alpha) = x$, следовательно,

$\cos (-\alpha) = \cos \alpha$. (1)

Так как равенство (1) справедливо для любого угла $\alpha$, то мы доказали, что $\cos (- \alpha) \equiv \cos \alpha$.

Четность $sec \alpha$ (см. формулу $sec \alpha = \frac{1}{ \cos \alpha}$) доказывается так:

$sec (- \alpha) = \frac{1}{ \cos ( - \alpha)} = \frac{1}{ \cos \alpha} = sec \alpha$.

Итак,

$sec (- \alpha) = sec \alpha$. (2)

Заметим, далее, что ординаты точек $Е$ и $Е_{1}$ противоположны по знаку ($BE = y, BE_{1} = - y$). Согласно первой формуле $\begin{cases} \sin \alpha = y, \cos \alpha = x \\ tg \alpha = \frac{y}{x}, ctg \alpha = \frac{x}{y} \\ sec \alpha = \frac{1}{x}, cosec \alpha = \frac{1}{y} \end{cases}$ имеем $\sin \alpha = y$ и $\sin (- \alpha) = - y$, следовательно,

$\sin (- \alpha) = - \sin \alpha$. (3)

Используя формулу $tg \alpha = \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}$, а также тождества (1) и (3), получим

$tg (-\alpha) = \frac { \sin (- \alpha)}{ \cos (- \alpha)} = \frac {- \sin \alpha}{ \cos \alpha} = -tg \alpha$.

Итак,

$tg(- \alpha) = - tg \alpha$. (4)

Для доказательства нечетности $ctg \alpha$ воспользуемся тождествами $tg \alpha ctg \alpha = 1$ и (4):

$ctg (- \alpha) = \frac{1}{tg (- \alpha)} = \frac{1}{- tg \alpha} = - ctg \alpha$.

Итак,

$ctg (- \alpha) = - ctg \alpha$. (5)

Рекомендуем доказать, что справедливо и тождество

$cosec (- \alpha) = - cosec \alpha$. (6)