Мы определили понятия целой и дробной рациональной функции от $x$; ц.р.ф. степени $n$ задавались в виде

$P_n(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n$, (1)

а д.р.ф. - как частное от деления двух ц.р.ф.:

$R (x) = \frac {P_n(x)}{S_m (x)} = \frac {a_0x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n}{b_0x^m + b_1 x^{m-1} + \cdots + b_m}$. (2).

Ц.р.ф. определена при всех значениях аргумента, а д. р.ф. не определена только в нулях знаменателя.

При сложении, вычитании, умножении и делении рациональных функций вновь получаются рациональные функции. Здесь мы остановимся на вопросе о делении двух целых рациональных функций (или о делении двух многочленов от $x$).

Напомним сначала определение частного и остатка при делении натуральных чисел: если $a$ и $b$ - два любых натуральных числа, то всегда можно найти два других числа $q$ и $r$ такие, что

$a = bq + r$

и $r < b$. Число $q$ называется частным, а $r$ - остаткам при делении $a$ на $b$.

Весьма сходным образом мы определим теперь частное и остаток при делении двух многочленов. Пусть

$P_n (x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n$

и

$S_m (x) = b_0x^m + b_1x^{m-1} + \cdots + b_m$

- два произвольных многочлена. . Заметим, что, вместо условия «остаток меньше делителя» в случае чисел, для многочленов вводится условие «степень остатка меньше степени делителя».

В этом определении подразумевается, что равенство (3) имеет тождественный характер: если произвести действия умножения и сложения многочленов в его правой части, то получится многочлен с теми же коэффициентами при соответствующих степенях $x$, что и у $P_n (x)$.

Определение. Говорят, что многочлен $P_{n}(x)$ делится на многочлен $S_{m}(x)$ нацело, если существует многочлен $Q(x)$ такой, что

$P_{n}(x) = S_{m}(x)Q(x)$

(иначе: остаток при делении $P_{n}(x)$ на $S_{m}(x)$ равен нулю).

Следует поставить вопросы: всегда ли для двух многочленов $P_{n}(x)$ и $S_{m}(x)$ существуют частное и остаток, единственным ли образом определены частное и остаток? Не приводя доказательства, даем ответ на эти вопросы: каковы бы ни были два многочлена $P_{n}(x)$ и $S_{m}(x)$ ($S_{m}(x) \neq 0$), существуют единственным образом определенные многочлены $Q(x), R(x)$, являющиеся частным и остатком при делении $P_{n}(x)$ на $S_{m}(x)$.

Так как, очевидным образом, степень многочлена-произведения равна сумме степеней многочленов-сомножителей, то нетрудно сделать вывод: при $n \geq m$ степень частного от деления $P_{n}(x)$ на $S_{m}(x)$ равна разнести степеней $n - m$; при $n < m$ частное тождественно равно нулю; в последнем случае

$P_{n} (x) = S_{m} (x) \cdot 0 + P_{n}(x)$, т. е. $R(x) = P_{n}(x)$

(аналогично тому, как при делении 5 на 7 получим: $5 = 0 \cdot 7 + 5$).

При $n \geq m$ наше утверждение о степени $Q(x)$ выясняется из сравнения степеней многочленов в обеих частях равенства

$P_{n}(x) = S_{m}(x)Q (x) + R(x)$.

Так как степень $R(x)$ по определению меньше $m$, то она также меньше степени $S_{m}(x)Q(x)$. Степень $S_{m}(x)Q(x)$ должна равняться степени $P_{n}(x)$, откуда степень $Q(x)$ равна $n - m$.

Напомним на примере метод деления многочленов (деление «углом»).

Пример. Найти частное и остаток при делении

$P_{4}(x) = 2x^4 + 11x^3 + 6x^2 - 21x - 2$ на $S_{2}(x) = x^2 + 3x - 4$.

Решение.


Ограничимся пояснением первых шагов: делим старший член делимого на старший член делителя; получаем $2x^{2}$. Умножаем делитель на $2x^{2}$ и результат подписываем под делимым. Вычитаем подписанный результат из делимого и снова делим старший член разности на старший член делителя ... Процесс заканчивается, когда очередной остаток при вычитании имеет степень, меньшую степени делителя (или просто равен нулю).

Таким образом,

$\underbrace{2x^{4} + 11x^{3} + 6x^{2} - 21x - 2}_{P_{4}(x) } = \underbrace{ (x^{2} + 3x - 4 )}_{S_{2}(x) } \underbrace{(2x^{2} + 5x - 1 )}_{Q(x) } + \underbrace{2x - 6}_{R(x)}$.

Если обе части равенства $P(x) = S(x)Q(x) + R(x)$, определяющего частное и остаток от деления $P(x)$ на $S(x)$, разделить почленно на $S(x)$, то получим . Это сходно с разложением числовой дроби (рационального числа) на целую и дробную части.