Если сложение и умножение натуральных чисел всегда приводят вновь к натуральному числу, то уже вычитание не всегда выполнимо, если оставаться в области арифметики натуральных чисел. Для возможности образования разности любых двух натуральных чисел возникает необходимость расширить совокупность чисел, вводя нуль и целые отрицательные числа $-1, -2, - 3, \cdots, - n, \cdots $. Натуральные числа называются также целыми положительными числами. Если хотят подчеркнуть, что данное число положительное, то перед ним ставится знак «+», но, как правило, пишут не + 4, а просто 4 и т. д., перед отрицательными же числами знак “-» ставится обязательно. Вся совокупность целых чисел

$ \cdots , - n, \cdots , -2, -1, 0, 1, 2, \cdots , n, \cdots$.

состоит из целых положительных (натуральных) чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Теперь уже, во множестве всех целых чисел, действие вычитания (так же как и сложения) всегда выполнимо. При этом, действие вычитания может быть сведено к сложению с числом, противоположным вычитаемому:

$a-b = a + (-b); a – (-b) = a + b$.

Мы предполагаем известными правила действий с целыми (положительными и отрицательными) числами.

Для умножения целых чисел вводится известное правило знаков: если $a, b$ положительные, то

$(-a) \cdot b = a \cdot (-b)= - ab; (-a) \cdot (-b)=ab$.

В частности, $(-1) \cdot a = - a$.

Таким образом, произведение двух чисел одного знака есть положительное число, двух чисел противоположного знака - отрицательное число. Число, противоположное данному, равно произведению данного числа на минус единицу.

Произведение любого числа на нуль равно нулю.
В числовом кольце неограниченно выполнимы целые рациональные действия, т. е. рациональные действия, кроме, быть может, деления. Натуральные числа не образовали числового кольца, так как действие вычитания не всегда приводило вновь к натуральному числу. Целые числа не образуют поля, так как в области целых чисел деление не всегда выполнимо.

В связи с этим множество целых чисел вновь расширяют до множества рациональных чисел. Если $a$ делится на $b$ нацело, то рациональное число - целое; в противном случае рациональное число называется дробным. Оно считается положительным, если $a$ - положительное, и отрицательным, если $a$ - отрицательное.

Дробь $a/b$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на н.о.д. чисел $a$ и $b$. В дальнейшем, как правило, при записи рационального числа в виде $a/b$ дробь $a/b$ считается несократимой, т. е. $a$ и $b$ полагаются взаимно простыми числами.

В области рациональных чисел неограниченно выполнимы все рациональные действия (кроме деления на нуль): сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел также являются рациональными числами. Практически правила действий над рациональными числами хорошо известны из арифметики. Для сложения и умножения справедливы те же основные законы, что и для натуральных чисел.

Каждое рациональное число $x$, если оно само не является целым, заключено между двумя соседними целыми числами: $n < x < n+1$. Так, например, 7/2 лежит между 3 и 4, 13/54 - между 0 и 1, -8/3 - между - 3 и - 2.

Введем следующее определение: Целая часть числа $x$ обозначается так: $[х]$. Например:
[7/2]=3, [13/54]= 0, [-8/3]=-3, [-3] = -3.
Дробная часть числа $x$ равна $x - [x]$ и иногда обозначается через $(x)$. В наших примерах дробная часть чисел 7/2, 13/54, - 8/3, -3 равна соответственно 1/2, 13/54, 1/3, 0. Дробная часть целого числа равна нулю, так как целое число совпадает со своей целой частью. Для любого числа его дробная часть неотрицательна и строго меньше единицы:
$0 \leq x - [x] < 1$.
Всякое рациональное число однозначно разлагается на сумму целой и дробной частей, например:
$\frac{7}{2} = 3 + \frac{1}{2}, - \frac{8}{3} = - 3 + \frac{1}{3}$.
С разложением рационального числа на целую и дробную части связано понятие (не исключено, что целая или дробная часть равна нулю):
$\frac{a}{b}=q + h, 0 \leq h < 1$.
Обозначим $bh = r$ (ясно, что $0 \leq r < b$). Тогда
$a = bq + r$. (1)
При этом остаток удовлетворяет неравенствам $0 \leq r < b$. Равенство (1) можно использовать для такого более формального определения понятий частного и остатка. Пусть $a, b$ - натуральные числа. Два целых неотрицательных числа $q, r$ называются соответственно частным и остатком от деления $a$ на $b$, если выполняется равенство (1) и неравенство $0 \leq r < b$.

На процессе деления с остатком основывается способ отыскания н.о.д. двух чисел; исторически он связан с теорией измерения отрезков у Евклида и носит название алгоритма Евклида.

Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b < a$. Произведем деление $a$ на $b$; если $a$ разделится на $b$ нацело, то $b$ - н.о.д. чисел $a, b$. В противном случае получится некоторый остаток $r_{1} < b$:

$a =bq_{1} + r_{1}$. (2)

Теперь будем делить $b$ на $r_{1}$; если $b$ разделится на $r_{1}$ нацело, то $r_{1}$ окажется общим делителем чисел $a$ и $b$; действительно, в этом случае оба слагаемых правой части равенства (2) делятся на $r_{1}$ нацело, значит, делится на $r_{1}$ нацело и его левая часть $a$. То, что $r_{1}$ явится именно наибольшим общим делителем $a$ и $b$, также видно из (2): если $d$ - какой-нибудь общий делитель чисел $a, b$, то он будет также делителем числа $r_{1}$.

Если $b$ делится на $r_{1}$ с остатком, то придем к равенству вида

$b=r_{1}q_{2}+r_{2}$ (3)

где уже $r_{2} < r_{1}$. После этого разделим $r_{2}$ на $r_{1}$. Снова представляются две возможности: $r_{2}$ делится на $r_{1}$ нацело, или $r_{2}$, делится на $r_{1}$ с остатком. Если осуществится первая из этих возможностей, то $r_{2}$ будет н.о.д. чисел $a$ и $b$ (это легко доказать, пользуясь равенствами (2), (3)). Если же осуществляется вторая возможность, то получим результат деления

$r_{1} = r_{2}q_{3} + r_{3}, r_{3} < r_{2}$,

и вновь будем делить $r_{2}$ на $r_{3}$. Процесс обязательно закончится на некотором шаге: числа $b, r_{1}, r_{2}, \cdots $ последовательно уменьшаются, и либо одно из них, не равное единице, окажется делителем предыдущего (оно и будет н.о.д. чисел $a, b$), либо цепочка чисел $b > r_{1} > r_{2} > \cdots $ закончится единицей. В этом случае н.о.д. чисел $a, b$ равен единице, числа $a, b$ взаимно простые.