Предположим вначале для простоты, что данное число — целое $m$-значное; записываем его в виде $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$. Ответим на вопрос, сколько цифр будет содержать целая часть арифметического квадратного корня из $A$. Ответ получается из следующего сравнения неравенств для числа и корня из этого числа:

Если $1 \leq A < 100$, то $1 \leq \sqrt{A} < 10$,
если $100 \leq A < 10 000$, то $10 \leq \sqrt{A} < 100$,
если $10000 \leq A < 1000000$, то $100 \leq \sqrt{A} < 1000$,
$\cdots$

Таким образом, если $A$ — одно- или двузначное число, то целая часть $\sqrt{A}$ — однозначная; если $A$ — трех- или четырехзначное число, то целая часть $\sqrt{A}$ — двузначная и т. д. Вообще, если $A$ — $m$ - значное число, то целая часть $\sqrt{A}$ будет ($m/2$)- значной при четном $m$ и $((m+1)/2)$-значной при нечетном $m$. Практически это число знаков определяется механически таким образом: число $A$ разбивают на «грани» по две цифры, начиная справа; при этом последняя левая грань может состоять из одной или двух цифр, например:

$28^{\prime}83^{\prime}67, 2^{\prime}12^{\prime}61^{\prime}52$.

Число граней и дает нам число цифр целой части $\sqrt{A}$.

Следующий шаг состоит в определении первой цифры числа $\sqrt{A}$; эта цифра $a_{1}$ легко находится в уме, так как для ее отыскания достаточно помнить квадраты целых чисел от 1 до 9. В самом деле, первая цифра $\sqrt{A}$ зависит только от первой (считая слева) грани числа $A$. Например, $\sqrt{28^{\prime}c_{3}c_{4}^{\prime}c_{5}c_{6}}$ содержит заведомо 5 сотен независимо от цифр $c_{3}, c_{4}, c_{5}, c_{6}; \sqrt{3^{\prime}c_{2}c_{3}^{\prime}c_{4}c_{5}^{\prime}c_{6}c_{7}}$ содержит одну тысячу независимо от цифр $c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5}, c_{6}, c_{7}$ и т. п. Можно записать

$\sqrt{28^{\prime} c_{3}c_{4}^{\prime}c_{5}c_{6}} = \overline{5a_{2}a_{3}}, \cdots , \sqrt{3^{\prime}c_{2}c_{3}^{\prime}c_{4}c_{5}^{\prime}c_{6}c_{7}} = \overline{1 a_{2}a_{3}a_{4}}, \cdots$

Покажем, из каких соображений можно находить следующую цифру $a_{2}$ числа $\sqrt{A}$. Цифра $a_{2}$ определяется как наибольшая цифра, при которой еще выполняется неравенство ($k$ -число граней $A$)
$\sqrt{A} \geq a_{1} \cdot 10^{k} + a_{2} \cdot 10^{k-1}$
или
$A \geq a_{1}^{2} \cdot 10^{2k} + 2a_{1}a_{2} \cdot 10^{2k-1}$, (1)
откуда, тем более,
$A \geq a_{1}^{2} \cdot 10^{2k} + 2a_{1}a_{2} \cdot 10^{2k-1}$ (2)
или
$a_{2} \leq \frac{A – (a_{1} \cdot 10^{k})^{2}}{2a_{1} \cdot 10^{2k-1}}$ (3)
Можно было бы находить $a_{2}$ из неравенства (1), но решение квадратного неравенства является трудоемким; поэтому переходят к простому линейному неравенству (2), из которого и получается условие (3) для подбора $a_{2}$. Берем наибольшее целое $a_{2}$, удовлетворяющее условию (3).

Такое $a_{2}$ может еще оказаться слишком большим: надо проверить, выполняется ли и неравенство (1); если $a_{2}$ оказалось слишком большим, то уменьшаем его на единицу и снова проверяем, удовлетворяется ли неравенство (1). Таким образом подбирается $a_{2}$.

При этом $a_{2}$ определяется с использованием лишь первых двух левых граней $A$, остальные грани $A$ на выбор $a_{2}$ не влияют.

Пример 1. $\sqrt{28^{\prime} 83^{\prime} 67} = \overline{5a_{2}a_{3}}$; для отыскания $a_{2}$ имеем неравенство (3), которое запишется так:
$a_{2} \leq \frac{288367 - 250000}{2 \cdot 5 \cdot 10^{3}} = 3,8367$
Наибольшее значение $a_{2} = 3$. Проверяем, удовлетворяется ли неравенство (1):
$288 367 \geq (530)^{2} = 280900$.
Так как неравенство выполнено, то вторая цифра корня равна 3:
$\sqrt{288367} = \overline{53a_{3}}, \cdots$

Пример 2. $\sqrt{2^{\prime} 12^{\prime} 61^{\prime} 52} = \overline{1a_{2}a_{3}a_{4}}, \cdots $; для $a_{2}$ имеем
$a_{2} \leq \frac{2126152-1000000}{2 \cdot 1 \cdot 10^{5}} = 5,63 \cdots$
Наибольшее возможное значение $a_{2} = 5$; но неравенство
$2126 152 \geq (1500)^{2} = 2250 000$
неверно. Испытываем $a_{2} = 4$:
$2 126 152 \geq (1400)^{2} = 1 960 000$. Неравенство выполнено. Итак,
$\sqrt{2 126 152} = \overline{14 a_{3}a_{4}}, \cdots$
Замечание. Здесь практически можно было определить первые две цифры корня сразу, в уме, так как очевидно, что $sqrt{212} = 14, \cdots $

После того как найдены первые две цифры корня $a_{1}$ и $a_{2}$, из тех же соображений находят следующие, в том числе и идущие после запятой цифры $\sqrt{A}$. Например, для $a_{3}$ исходят из неравенства

$\sqrt{A} \geq a_{1} \cdot 10^{k} + a_{2} \cdot 10^{k-1} + a_{3} \cdot 10^{k-2}$,

получая из него оценку для $a_{3}$:
$a_{3} \leq \frac{A – (a_{1} \cdot 10^{k} + a_{2} \cdot 10^{k-1})^2}{2(a_{1} \cdot 10^{k} + a_{2} \cdot 10^{k-1}) \cdot 10^{k-2}}$, и т.д.

При практическом извлечении корня все вычисления располагают в некоторой определенной схеме, которую мы напомним на тех же примерах $\sqrt{288 367}$ и $\sqrt{2 126 152}$.

Перед разбором примеров приведем для удобства формулировку правила извлечения корня.



Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.

Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получающегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число подвергают испытанию.

Испытание это производится так: за вертикальной чертой корня (налево от остатка) пишут удвоенное ранее найденное число корня и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, большее остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытывать следующую, меньшую цифру.

Следующие цифры корня находят с помощью того же приема.

Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т. е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.

Пример 3. Вычислить: а) $\sqrt{288 367}$ с точностью до 0,01; б) $\sqrt{2 126 152}$ с точностью до 0,1.

Решение.
а)
Примечания. *) Цифра 7 не выдерживает испытания; переходим к следующей цифре 6. **) Мысленно дополняем подкоренное число нулями за запятой и сносим следующую нулевую грань.

б)
Если подкоренное число выражается десятичной дробью, то деление на грани производится от запятой: для целой части влево, для дробной - вправо:
$381,6428 = 3^{\prime}81,64^{\prime}28; 25,741 =25,74^{\prime}10;$
в остальном процесс извлечения корня остается тем же.