Разделы 
Дополнительно
Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены.
Алгебраическое выражение
Рациональные алгебраические выражения
Область допустимых значений
Тождественные алгебраические выражения
Тождественные преобразования
Одночлен
Многочлен(полином)
Подобные одночлены
Умножение одночленов и многочленов
Буквенные обозначения, применяемые в алгебре, дают возможность записать общее правило решения множества однотипных задач в виде некоторой формулы. Такая формула показывает, какие действия (и в какой последовательности) следует произвести над определенными величинами, чтобы получить нужный результат. Так, сумма $n$ членов геометрической прогрессии задается формулой
$S_{n} = a_{1} \frac{1-q^{n}}{1-q}$
где $a_{1}$ — первый член прогрессии, a $q$ — ее знаменатель; площадь треугольника определяется формулой
$S = \frac{1}{2} hb$,
где $h$ — высота треугольника, а $b$ — его основание, и т. д.
Зная числовые значения величин (буквенных параметров) в правой части формулы, можно, выполняя указанные действия, найти числовое значение искомой величины. Правые части написанных формул дают нам примеры алгебраических выражений; другие примеры алгебраических выражений:
$\frac{a+b}{\sqrt{2}(b-c)}; \frac{x^{2}+y^{2}}{(ax+by)^{2}}; - \frac{xy}{4ab}; \frac{\sqrt[3]{a} - 1}{a+1}$. (1)
Нет необходимости в строгом определении понятия алгебраического выражения: этот термин можно применять всякий раз, когда дана запись, указывающая алгебраические действия, производимые над некоторыми числами и буквенными величинами.
Если в записи алгебраического выражения используют только рациональные (целые рациональные) действия над буквенными величинами, то оно называется рациональным (целым рациональным) алгебраическим выражением. Первые два выражения (1) рациональны.
Выражение $(a+b)/(a-b)$ имеет смысл при всех значениях $a$ и $b$, не равных между собой, т. е. при $a \neq b$.
Выражение $\sqrt{2a — 5} + a$ имеет смысл (везде, если не оговорено противное, мы ограничиваемся только действительной областью) при $a \geq 5/2$.
Пример 1. Найти значение алгебраического выражения $(ax + b)/(bx - a)$ при следующих значениях $a, b, x$:
а) $a = 2, b = 3, x = 1$;
б) $a = \sqrt[3]{2}, b = — 2, x = -1$;
в) $a = 3, b= -3, x = -1$.
Решение.
а) $\left . \frac{ax+b}{bx-a} \right |_{a=2,b=3,x=1} = \frac{2 \cdot 1 + 3}{3 \cdot 1 - 2} = 5$;
б) $\left . \frac{ax+b}{bx-a} \right |_{a=\sqrt[3]{2},b=-2,x=\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} - 2}{ - 2 \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} = 0$
в) выражение не имеет смысла, так как знаменатель обращается в нуль.
Множество всех наборов числовых значений букв, входящих в данное алгебраическое выражение, часто называют областью допустимых значений (о.д.з.). В примере 1 области допустимых значений принадлежат любые тройки значений $a, b, x$ при условии, что $bx \neq a$.
Два различных по виду алгебраических выражения могут тем не менее иметь равные числовые значения при любых допустимых значениях буквенных параметров (и одинаковые о. д. з.). Вот примеры такого рода:
$a^{3} – b^{3}$ и $(a-b)(a^{2} + ab + b^{2})$,
$\sqrt{a^{2} + 2ab + b^{2}}$ и $|a+b|$,
$\frac{1}{\sqrt{x} - 1}$ и $\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}$.
В таких случаях говорят, что эти алгебраические выражения тождественно равны и пишут:
$a^{3} – b^{3} \equiv (a-b)(a^{2} + ab + b^{3})$,
$\sqrt{a^{2} + 2ab + b^{2}} \equiv |a+b|$
$\frac{1}{\sqrt{x} - 1} \equiv \frac{\sqrt{x} + 1}{x-1}$
(часто вместо знака $\equiv$ тождественного равенства употребляют просто знак равенства $=$).
$\frac{a^{2}-1}{a-1}$ и $a+1$,
$\frac{a(a+1)}{a}$ и $\frac{a^{2}-1}{a-1}$.
В первом случае левое выражение не определено при $a = 1$ (а правое определено). Во втором случае левое выражение не имеет смысла при $a = 0$, а правое - при $a = 1$, в остальных же случаях они равны. В таких случаях равенства
$\frac{a^{2} -1}{a-1}= a+1, \frac{a(a+1)}{a} = \frac{a^{2}-1}{a-1}$
также часто называют тождественными, подразумевая при этом, что буквенные параметры принимают только значения, при которых имеют смысл оба выражения. Вообще, во избежание неясности лучше говорить так: «данные выражения тождественно равны при значениях буквенных параметров…», указывая область изменения этих параметров, в которой оба выражения принимают равные значения. Так, например, мы называем равенство
$|a|^{2} = a^{2}$
тождеством, подразумевая, что $a$ — действительное число. При комплексном $a$ это равенство уже не будет тождеством. Можно сказать, что равенство
$\sqrt{a^{2}}=a$
удовлетворяется тождественно для всех неотрицательных а (оно не будет тождеством, если рассматривать все действительные значения $a$).
Одним из основных навыков в области алгебры должно быть умение переходить от одного алгебраического выражения к другому, ему тождественному, более простому или удобному. Такой переход осуществляется с помощью тождественных преобразований.
Например, при решении уравнения
$\frac{x^{2}+1}{x} + \frac{x-1}{x} = 1$
«тождественное» преобразование левой части
$\frac{x^{2} + 1}{x} + \frac{x-1}{x} = x + \frac{1}{x} + 1 - \frac{1}{x} = x+1$ (2)
дало бы нам «решение» $x = 0$ —значение, при котором исходное уравнение теряет смысл. Преобразование (2) изменяет о.д.з., и, выполняя его, следует исключить значение $x = 0$.
Простейшие алгебраические выражения суть одночлены и многочлены. Следующие алгебраические выражения:
$3a^{2}bx, \sqrt{2} abc^{3}, xz^{2}$,
дают нам примеры одночленов.
Вообще, одночленом называют выражение, получаемое при умножении числового множителя (коэффициента) на один или несколько буквенных сомножителей.
Обычно при этом буквенные сомножители располагают в порядке алфавита, одинаковые сомножители объединяют вместе, пользуясь знаком возведения в степень:
$abaxbz = a^{2}b^{2}xz$.
Произведение нескольких одночленов также есть одночлен.
Многочленом (полиномом) называют алгебраическое выражение, представленное как алгебраическая сумма нескольких одночленов, например:
$3ax – 2by + ax +cz^{2}, ab^{2} +a^{2}b + bc^{2} + b^{2}c + ac^{2}+ a^{2}c$. (3)
$3ax – 2by + ax +cz^{2}, ab^{2} +a^{2}b + bc^{2} + b^{2}c + ac^{2}+ a^{2}c$. (3)
Одночлены, отличающиеся только числовым коэффициентом, называют подобными
Сумма двух многочленов сама непосредственно является многочленом (в ней следует лишь привести подобные члены). Сформулируем также известные правила умножения одночлена на многочлен и умножения двух многочленов.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, следует умножить на этот одночлен каждый член многочлена; чтобы умножить многочлен на многочлен, следует умножить каждый из одночленов, входящих в запись одного многочлена, на каждый из одночленов второго многочлена (и взять сумму полученных одночленов с учетом правила знаков).
Оба правила вытекают из применения распределительного закона умножения относительно сложения.
Пример 2. $2ab (a^{2} + ab + b^{2}) = 2a^{3}b + 2a^{2}b^{2} + 2ab^{3}$.
Пример 3. $(sb – 2a – 2b)(a + b) = a^{2}b + ab^{2} – 2a^{2} — 2 ab — 2ab – 2b^{2} = a^{2}b + ab^{2} – 2a^{2} – 4ab – 2b^{2}$.
