Разделы 
Дополнительно
Квадратное уравнение
14 \cdot x^{2} + 8 \cdot x + 2 = 0
Выполнить
Описание.
$\blacksquare \cdot x^2 + \blacksquare \cdot x + \blacksquare = 0$
На месте $\blacksquare$ - вставьте нужные вам цифры, отсутствие в исходной формуле коэффициента, записывается нулем. Пример выражение $8 \cdot x + 2 = 0$ записывается как $0 \cdot x^{2} + 8 \cdot x + 2 = 0$.
Дробные числа записываются через запятую в одну строчку. Пример: $2,5$
Отрицательные числа записываются так: $-14 \cdot x^{2} + - 8 \cdot x + 2 = 0$ коэффициенты $a=-14$, $b= -8$
Теория
Пусть дано уравнение:
$x^{2} + px + q =0$. (1)
Так как $p = 2 \cdot \frac{p}{2}$, то, если прибавим и вычтем в левой части уравнения (1) одно и то же число $\left ( \frac{p}{2} \right )^{2} = \frac{p^{2}}{4}$, получим:
$\left ( x + \frac{p}{2} \right )^{2} - \frac{p^{2}}{4} + q = 0$
$\left ( x + \frac{p}{2} \right )^{2} - \left ( \frac{p^{2}}{4} - q \right ) = 0$,
$\left ( x + \frac{p}{2} \right )^{2} = \frac{p^{2}}{4} - q$. (2)
Левая часть уравнения (2) неотрицательна, а относительно выражения $\frac{p^{2}}{4} - q$ представится три случая.
Случай 1.
$\frac{p^{2}}{4} - q > 0$
Из уравнения (2) находим:
$x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{ \frac{p^{2}}{4} - q}$
и
$x = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{ \frac{p^{2}}{4} - q}$. (А)
Мы получили два корня:
$x_{1} = - \frac{p}{2} - \sqrt{ \frac{p^{2}}{4} - q}$ и $x_{2} = - \frac{p}{2} + \sqrt{ \frac{p^{2}}{4} - q }$
Итак, в этом случае уравнение (1) имеет два корня.
Формула (А) является обшей формулой корней приведенного квадратного уравнения. Словами её можно выразить так:
Корни приведённого квадратного уравнения равны половине второго коэффициента. взятого с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этой половины без свободного члена.
Таким же путём решим теперь квадратное уравнение в общем виде:
$ax^{2} + bx + c = 0$. (3)
Разделим обе части этого уравнения на $a$ (мы знаем, что $a \neq 0$). Получим приведённое уравнение, равносильное данному:
$x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$, где $p = \frac{b}{a}, q= \frac{c}{a}$ (4)
Вычислим подкоренное выражение в формуле (А) корней приведённого квадратного уравнении (4):
$\frac{p^{2}}{4} – q = \left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} - \frac{c}{a} = \frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{c}{a} = \frac{b^{2} – 4ac}{4a^{2}}$. (5)
Если это выражение неотрицательно, то, применив формулу (А), получим корни уравнения (3):
$x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^{2} – 4ac}{4a^{2}}}$.
Заметив, что $\sqrt{\frac{b^{2} – 4ac}{4a^{2}}} = \frac{\sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}$, получим окончательно следующую общую формулу корней квадратного уравнении:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}$ (B)
Если выражение (5) отрицательно, то уравнение не имеет корней.
Словами формулу (B) можно выразить так:
Корни квадратного уравнения равны дроби, знаменатель которой равен удвоенному первому коэффициенту, а числитель - второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этого коэффициента вез учетверённого произведения первого коэффициента и свободного члена.
$x^{2} + px + q =0$. (1)
Так как $p = 2 \cdot \frac{p}{2}$, то, если прибавим и вычтем в левой части уравнения (1) одно и то же число $\left ( \frac{p}{2} \right )^{2} = \frac{p^{2}}{4}$, получим:
$\left ( x + \frac{p}{2} \right )^{2} - \frac{p^{2}}{4} + q = 0$
$\left ( x + \frac{p}{2} \right )^{2} - \left ( \frac{p^{2}}{4} - q \right ) = 0$,
$\left ( x + \frac{p}{2} \right )^{2} = \frac{p^{2}}{4} - q$. (2)
Левая часть уравнения (2) неотрицательна, а относительно выражения $\frac{p^{2}}{4} - q$ представится три случая.
Случай 1.
$\frac{p^{2}}{4} - q > 0$
Из уравнения (2) находим:
$x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{ \frac{p^{2}}{4} - q}$
и
$x = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{ \frac{p^{2}}{4} - q}$. (А)
Мы получили два корня:
$x_{1} = - \frac{p}{2} - \sqrt{ \frac{p^{2}}{4} - q}$ и $x_{2} = - \frac{p}{2} + \sqrt{ \frac{p^{2}}{4} - q }$
Итак, в этом случае уравнение (1) имеет два корня.
Формула (А) является обшей формулой корней приведенного квадратного уравнения. Словами её можно выразить так:
Корни приведённого квадратного уравнения равны половине второго коэффициента. взятого с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этой половины без свободного члена.
Таким же путём решим теперь квадратное уравнение в общем виде:
$ax^{2} + bx + c = 0$. (3)
Разделим обе части этого уравнения на $a$ (мы знаем, что $a \neq 0$). Получим приведённое уравнение, равносильное данному:
$x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$, где $p = \frac{b}{a}, q= \frac{c}{a}$ (4)
Вычислим подкоренное выражение в формуле (А) корней приведённого квадратного уравнении (4):
$\frac{p^{2}}{4} – q = \left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} - \frac{c}{a} = \frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{c}{a} = \frac{b^{2} – 4ac}{4a^{2}}$. (5)
Если это выражение неотрицательно, то, применив формулу (А), получим корни уравнения (3):
$x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^{2} – 4ac}{4a^{2}}}$.
Заметив, что $\sqrt{\frac{b^{2} – 4ac}{4a^{2}}} = \frac{\sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}$, получим окончательно следующую общую формулу корней квадратного уравнении:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}$ (B)
Если выражение (5) отрицательно, то уравнение не имеет корней.
Словами формулу (B) можно выразить так:
Корни квадратного уравнения равны дроби, знаменатель которой равен удвоенному первому коэффициенту, а числитель - второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этого коэффициента вез учетверённого произведения первого коэффициента и свободного члена.
