Разделы 
Дополнительно
Плоскость по 3 точкам
A(1,2,3);B(4,5,6);C(7,8,9);
Выполнить
Описание.
$A(\blacksquare,\blacksquare,\blacksquare);B(\blacksquare,\blacksquare,\blacksquare);C(\blacksquare,\blacksquare,\blacksquare)$
На месте $\blacksquare$ - вставьте нужные вам цифры.
Дробные числа записываются через запятую в одну строчку. Пример: $2,5$
Отрицательные числа записываются так. Пример: $-2$
Теория
Предположим, что три точки $M_{1},M_{2}$ и $M_{3}$ не лежат на одной прямой. Тогда существует единственная плоскость $\pi$, которой эти точки принадлежат. Найдем уравнение этой плоскости, сформулировав критерий принадлежности произвольной точки $M$ данной плоскости $\pi$. Затем запишем этот критерий через координаты точек. Указанным критерием является описание плоскости $\pi$ как множества тех точек $M$, для которых векторы $\bar{M_{1}M_{2}}, \bar{M_{1}M_{3}}$ и $\bar{M_{1}M}$ компланарны. Критерием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя третьего порядка, строками которого являются координаты векторов в ортонормированием базисе. Поэтому, если $(x_{i};y_{i};z_{i})$ - координаты точек $M_{i}, i = 1,2,3$, a $(x;y;z)$ - координаты точки $M$, то $\bar{M_{1}M} = {x –x_{1}; y-y_{1}; z – z_{1}}, \bar{M_{1}M_{2}} = {x_{2} – x_{1}; y_{2} – y_{1}; z_{2} – z_{1}}, \bar{M_{1}M_{3}} = {x_{3} – x_{1}; y_{3} – y_{1}; z_{3} – z_{1}}$ и условие равенства нулю смешанного произведения этих векторов имеет вид
$\begin{vmatrix}
x – x_{1}& y – y_{1} & z – z_{1}\\
x_{2} – x_{1}& y_{2} – y_{1} & z_{2} –z_{1}\\
x_{3} – x_{1}& y_{3} – y_{1} & z_{3} – z_{1}
\end{vmatrix} = 0$
Вычислив определитель, получим линейное относительно $x,y,z$ уравнение, являющееся общим уравнением искомой плоскости. Например, если разложить определитель по 1-й строке, то получим
$\begin{vmatrix}
y_{2} – y_{1} & z_{2} – z_{1}\\
y_{3} – y_{1} & z_{3} – z_{1}
\end{vmatrix} (x – x_{1}) - \begin{vmatrix}
x_{2} – x_{1} & z_{2} – z_{1}\\
x_{3} – x_{1} & z_{3} – z_{1}
\end{vmatrix} (y – y_{1}) + \begin{vmatrix}
x_{2} – x_{1} & y_{2} – y_{1}\\
x_{3} – x_{1} & y_{3} – y_{1}
\end{vmatrix} (z – z_{1}) = 0 $ (1)
Это равенство после раскрытия скобок преобразуется к общему
уравнению плоскости.
Отметим, что коэффициенты при переменных в последнем уравнении совпадают с координатами векторного произведения $\bar{M_{1}M_{2}} \times \bar{M_{1}M_{3}}$. Это векторное произведение, будучи произведением двух неколлинеарных векторов, параллельных плоскости $\pi$, дает ненулевой вектор, перпендикулярный $\pi$, т.е. ее нормальный вектор. Так что появление координат векторного произведения в качестве коэффициентов общего уравнения плоскости вполне закономерно.
$\begin{vmatrix}
x – x_{1}& y – y_{1} & z – z_{1}\\
x_{2} – x_{1}& y_{2} – y_{1} & z_{2} –z_{1}\\
x_{3} – x_{1}& y_{3} – y_{1} & z_{3} – z_{1}
\end{vmatrix} = 0$
Вычислив определитель, получим линейное относительно $x,y,z$ уравнение, являющееся общим уравнением искомой плоскости. Например, если разложить определитель по 1-й строке, то получим
$\begin{vmatrix}
y_{2} – y_{1} & z_{2} – z_{1}\\
y_{3} – y_{1} & z_{3} – z_{1}
\end{vmatrix} (x – x_{1}) - \begin{vmatrix}
x_{2} – x_{1} & z_{2} – z_{1}\\
x_{3} – x_{1} & z_{3} – z_{1}
\end{vmatrix} (y – y_{1}) + \begin{vmatrix}
x_{2} – x_{1} & y_{2} – y_{1}\\
x_{3} – x_{1} & y_{3} – y_{1}
\end{vmatrix} (z – z_{1}) = 0 $ (1)
Это равенство после раскрытия скобок преобразуется к общему
уравнению плоскости.
Отметим, что коэффициенты при переменных в последнем уравнении совпадают с координатами векторного произведения $\bar{M_{1}M_{2}} \times \bar{M_{1}M_{3}}$. Это векторное произведение, будучи произведением двух неколлинеарных векторов, параллельных плоскости $\pi$, дает ненулевой вектор, перпендикулярный $\pi$, т.е. ее нормальный вектор. Так что появление координат векторного произведения в качестве коэффициентов общего уравнения плоскости вполне закономерно.
