Числа $x_1, x_2, \cdots x_n$ принадлежат отрезку $[a; b]$, где $0 < a < b$. Докажите неравенство
$(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \left ( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n} \right ) \leq \frac {(a+b)^2}{4ab} n^2$.
Подробнее
Рассмотрим $n$ чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$. Положим
$b_k = \frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_k}{k}$ (для $k = 1, 2, \cdots, n$),
$C = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + \cdots + (a_n - b_n)^2$,
$D = (a_1 - b_n)^2 + (a_2 - b_n)^2 + \cdots + (a_n - b_n)^2$.
Докажите неравенства $C \leq D \leq 2C$.
Подробнее
В тетради написано несколько чисел. Разрешается приписать к уже написанным числам любое число, равное среднему арифметическому двух или нескольких из них, если только оно отлично от всех уже написанных. Докажите, что, начиная с двух чисел 0 и 1, с помощью таких приписок можно получить:
а) число 1/5;
б) любое рациональное число между 0 и 1.
Подробнее
Убывающая последовательность $x_n$ положительных чисел такова, что при любом натуральном $n$
$x_1 + \frac{x_4}{2} + \frac{x_9}{3} + \cdots + \frac{x_{n^2}}{n} \leq 1$.
Докажите, что при любом натуральном $n$
$x_1 + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{3} + \cdots + \frac{x_n}{n} \leq 3$.
Подробнее
Найти $x$ и $у$ из системы уравнений
$\frac {x-y \sqrt {x^2 - y^2}}{\sqrt {1 - x^2 + y^2}} = a, \frac {y - x \sqrt {x^2 - y^2}}{\sqrt {1 - x^2 + y^2}} = b$
($a$ и $b$ - данные числа).
Подробнее
Докажите, что для любых чисел $x_1, x_2, \cdots, x_n$ принадлежащих отрезку [0;1], выполняется неравенство
$(x_1 + x_2 + \cdots + x_n + 1)^2 \geq 4 (x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2)$.
Подробнее
Натуральные числа $p$ и $q$ взаимно просты. Отрезок $[0; 1]$ разбит на $p + q$ одинаковых отрезков. Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних, лежит ровно одно из $p + q - 2$ чисел
$\frac{1}{p}, \frac{2}{p}, \cdots, \frac{p-1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{2}{q}, \cdots, \frac{q-1}{q}$.
Подробнее
Конечная последовательность $a_1, a_2, \cdots, a_n$ из чисел 0 и 1 должна удовлетворять следующему условию: для любого целого $k$ от 0 до $n - 1$ сумма
$a_1a_{k+1} + a_2a_{k+2} + \cdots + a_{n-k}a_n$
является нечетным числом.
а) Придумайте такую последовательность для $n = 25$.
б) Докажите, что такая последовательность существует для некоторого $n > 1000$.
Подробнее
Про числа $а$ и $b$ известно, что неравенство
$a \cos x + b \cos 3x > 1$
не имеет решений. Докажите, что $|b| \leq 1$.
Подробнее
а) Пусть $m$ и $n$ - натуральные числа. Докажите, что если для некоторых неотрицательных целых чисел $k_1, k_2, \cdots, k_n$ число $2^{k_1} + 2^{k_2} + \cdots + 2^{k_n}$ делится на $2^m - 1$, то $n \geq m$.
б) Существует ли натуральное число, делящееся на $\underbrace{111 \cdots 1}_{m} $ и имеющее сумму цифр, меньшую чем $m$?
Подробнее
Даны несколько различных натуральных чисел, заключенных между квадратами двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что все их попарные произведения также различны.
Подробнее
Натуральное число $k$ в десятичной записи имеет $n$ знаков. Это число округлили с точностью до десятков, заменив последнюю цифру нулем и увеличив на единицу число десятков, если эта последняя цифра была больше четырех. Полученное число аналогичным образом округлили с точностью до сотен и так далее. В результате последнего $(n - 1)$-го округления получилось число $\tilde{k}$. Докажите, что $\tilde{k} < 18k/13$.
Подробнее
Величины $\alpha$ и $\beta$ двух острых углов удовлетворяют равенству $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin (\alpha + \beta)$. Докажите, что $\alpha + \beta = \frac{ \pi}{2}$.
Подробнее
Докажите, что среди любых $2m + 1$ различных целых чисел, не превосходящих по модулю $2m - 1$, можно найти три числа, сумма которых равна 0.
Подробнее
В бесконечном десятичном разложении действительного числа а встречаются все цифры. Пусть $v_n$ - количество различных цифровых отрезков длины $n$, встречающихся в этом разложении. Докажите, что если для некоторого $n$ выполнено условие $v_n \leq n + 8$, то число $a$ рационально.
Подробнее