Автомобиль повышенной проходимости может использовать в качестве ведущих либо передние, либо задние колёса. Водитель хочет буксировать тросом тяжёлый груз. Какую максимальную силу тяги $T$ (без рывка) сможет развить автомобиль, если коэффициент трения колёс о дорогу $\mu = 0,4$, масса автомобиля $M = 2 т$, расстояние между центрами колёс $l = 4 м$, радиус колёс $R = 0,3 м$? Центр масс автомобиля расположен на равном расстоянии от передней и задней оси на уровне осей колёс, трос горизонтален и прикреплён также на уровне осей колёс. Какие колёса должны быть ведущими?
Подробнее
Тонкостенная однородная цилиндрическая трубка радиусом $R$ стоит на горизонтальном столе (см. рисунок). В трубку опускают два одинаковых шара радиусом $r$, причём $R/2 < r < R$. При каком минимальном отношении $m/M$ ($m$ — масса каждого шара, $M$ — масса трубки) край трубки оторвётся от стола? Трение отсутствует.
Подробнее
Известно, что сильный человек может согнуть железную кочергу. Оцените, с какой силой человек должен действовать руками на концы кочерги, если железо имеет предел упругости $\sigma = 3 \cdot 10^{8} Н/м^{2}$, длина кочерги равна $l = 1 м$, её сечение — квадрат со стороной $a = 1 см$.
Подробнее
Два груза массой $m$ подвешены к горизонтальному потолку с помощью двух невесомых нерастяжимых нитей длиной $L_{1}$ и $L_{2}$ соответственно. Грузы соединены лёгким жёстким стержнем (см. рисунок). В положении равновесия нити вертикальны. Определите период малых колебаний системы в плоскости рисунка.
Подробнее
На конце невесомого стержня длиной $l$, шарнирно прикреплённого к стене, находится груз массой $m$ (см. рисунок). Стержень удерживается в равновесии в горизонтальном положении пружиной жёсткостью $k$, прикреплённой на расстоянии $l_{1}$ от шарнира, причём угол между пружиной и стержнем равен $\alpha$. Найдите частоту малых колебаний груза относительно положения равновесия.
Подробнее
К одному концу пружины с коэффициентом жёсткости $k$ прикрепили груз массой $M$, а другой конец закрепили. Насколько мала должна быть масса пружины $m$ по сравнению с массой груза $M$, чтобы при измерениях периода колебаний с точностью до 1% результат совпадал с периодом, вычисленным в предположении невесомости пружины?
Подробнее
Чашка массой $m$ укреплена на вертикальной пружине жёсткостью $k$. Её опускают от положения равновесия на расстояние $a$. Затем чашку отпускают, причём в момент прохождения положения равновесия к ней прилипает пластилиновый шарик массой $M$, не имеющий начальной скорости. Найдите амплитуду $a_{1}$ колебаний системы после удара. Ускорение свободного падения равно $g$.
Подробнее
Платформа, установленная на вертикальной невесомой пружине, совершает установившиеся колебания. В момент прохождения платформы через положение своего равновесия о неё абсолютно упруго ударяется маленький шарик, падающий с некоторой высоты, причём после соударения скорости платформы и шарика, оставаясь неизменными по модулю, изменяют свои направления на противоположные. Через некоторое время шарик вновь ударяется о платформу в момент её прохождения через положение равновесия, и далее этот процесс повторяется. Считая известными максимальное отклонение $A$ платформы от положения равновесия и период её свободных колебаний $T$, найдите, каким может быть отношение масс шарика и платформы.
Подробнее
В системе, изображённой на рисунке, прикреплённые к невесомым пружинам грузики при помощи нитей удерживаются на расстояниях $L/2$ от стенок, к которым прикреплены концы пружин. Длины обеих пружин в недеформированном состоянии одинаковы и равны $L$. Нити одновременно пережигают, после чего грузики сталкиваются и слипаются. Найдите максимальную скорость, которую будут иметь грузики при колебаниях, возникших после этого столкновения. Удар при столкновении является центральным. Жёсткости пружин и массы грузиков указаны на рисунке. Трением и размерами грузиков пренебречь.
Подробнее
Трубка длиной $L$ с постоянным внутренним сечением в форме круга радиусом $R (R \ll L)$ свёрнута в кольцо. Кольцо неподвижно, а его ось горизонтальна. В трубку залили невязкую жидкость, объём которой $V < \pi R^{2}L$. Каков период малых колебаний жидкости вблизи положения равновесия?
Подробнее
Вертикальная $U$-образная трубка постоянного поперечного сечения жёстко закреплена, и в неё налита ртуть. Период малых колебаний ртути в трубке равен $T_{1}$. В правое колено трубки наливают столько воды, что период малых колебаний системы становится равным $T_{2}$. Потом в левое колено наливают спирт в таком количестве, что период малых колебаний становится равным $T_{3}$. Каково соотношение масс ртути, воды и спирта? Плотности веществ равны $\rho_{1}, \rho_{2}$ и $\rho_{3}$ соответственно. Считайте, что ни вода, ни спирт не перетекают в соседние колена трубки.
Подробнее
Одно колено гладкой $U$-образной трубки с круглым внутренним сечением площадью $S$ вертикально, а другое наклонено к горизонту под углом $\alpha$. В трубку налили жидкость плотностью $\rho$ и массой $M$ так, что её уровень в наклонном колене выше, чем в вертикальном, которое закрыто лёгким поршнем, соединённым с вертикальной пружиной жёсткостью $k$ (см. рисунок). Найдите период малых колебаний этой системы. Ускорение свободного падения равно $g$.
Подробнее
К внутренней поверхности тонкостенного обруча прикреплён небольшой шарик (см. рисунок). Масса обруча равна $M$, масса шарика $m$ ($m$ и $M$ одного порядка), радиус обруча $R$. Обруч может без проскальзывания кататься по горизонтальной поверхности. Чему равен период колебаний обруча около положения равновесия в случае малых амплитуд? Ускорение свободного падения равно $g$.
Подробнее
На обруч намотана нерастяжимая невесомая нить, один конец которой прикреплён к потолку непосредственно, а другой через невесомую пружину (см. рисунок). Масса обруча равна $m$, жёсткость пружины $k$. Если обруч немного сместить из положения равновесия вниз и отпустить, то возникнут колебания, при которых обруч будет двигаться вертикально и при этом вращаться. Найдите частоту этих колебаний.
Подробнее
Два кубика одинаковой массы прикреплены к концам нерастяжимой невесомой нити, продетой через отверстие в горизонтальной плоскости. Верхний кубик скользит по плоскости по круговой траектории с угловой скоростью $\omega$ так, что нижний кубик неподвижен (см. рисунок). Трения нет. Если слегка дёрнуть за нижний кубик в вертикальном направлении, то возникнут малые колебания. Найдите их частоту $\Omega$.
Подробнее