Задача по математике - 3740
а) Даны вещественные числа $a_1, a_2, a_3, b_2$ и положительные числа $p_1, p_2, q_1, q_2$. Докажите, что в следующей таблице $2 \times 2$
$\binom {\frac {a_1 + b_1}{p_1 + a_1} \frac {a_1 + b_2}{p_1 + q_2}}{\frac {a_2 + b_1}{p_2 + q_1} \frac {a_2 + b_2}{p_2 + q_2}}$
найдется число, которое не меньше числа, стоящего с ним в одной строке, и не больше числа, стоящего с ним в одном столбце.
б) Даны вещественные числа $a_1, a_2, \cdots, a_m, b_1, b_2, \cdots, b_n$ и положительные числа $p_1, p_2, \cdots, p_m, q_1, q_2, \cdots, q_n$. Составлена таблица $m \times n$, в которой на пересечении $i$-й строки ($i = 1, 2, \cdots, m$) и $j$-го столбца ($j = 1,2, \cdots, n$), стоит число
$\frac {a_i + b_j}{p_i + q_j}$.
Докажите, что в этой таблице найдется число, которое не меньше любого числа, стоящего с ним в одной строке, и не больше любого числа, стоящего с ним в одном столбце.
Подробнее
$\binom {\frac {a_1 + b_1}{p_1 + a_1} \frac {a_1 + b_2}{p_1 + q_2}}{\frac {a_2 + b_1}{p_2 + q_1} \frac {a_2 + b_2}{p_2 + q_2}}$
найдется число, которое не меньше числа, стоящего с ним в одной строке, и не больше числа, стоящего с ним в одном столбце.
б) Даны вещественные числа $a_1, a_2, \cdots, a_m, b_1, b_2, \cdots, b_n$ и положительные числа $p_1, p_2, \cdots, p_m, q_1, q_2, \cdots, q_n$. Составлена таблица $m \times n$, в которой на пересечении $i$-й строки ($i = 1, 2, \cdots, m$) и $j$-го столбца ($j = 1,2, \cdots, n$), стоит число
$\frac {a_i + b_j}{p_i + q_j}$.
Докажите, что в этой таблице найдется число, которое не меньше любого числа, стоящего с ним в одной строке, и не больше любого числа, стоящего с ним в одном столбце.
Подробнее
Задача по математике - 3744
Натуральные числа $x_1, x_2$ меньше 10000. Исходя из них строится последовательность $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$, где число $x_3$ равно $|x_1 - x_2|$, число $x_4$ равно наименьшему из чисел $|x_1 - x_2|, |x_2 - x_3|, |x_1 - x_3|$, число $x_5$ равно наименьшему из чисел $|x_1 - x_2|, |x_1 - x_3|, |x_1 - x_4|, |x_2 - x_3|, |x_2 - x_4|,|x_3 - x_4|$ и так далее (каждое следующее число равно наименьшей из абсолютных величин разностей между предыдущими числами). Докажите, что обязательно $x_{21} = 0$.
Подробнее
Подробнее
Задача по математике - 3752
Дано натуральное число $n$. Последовательность натуральных чисел $a_1, a_2, \cdots, a_k (k \geq n)$ назовем универсальной для данного $n$, если из нее можно получить вычеркиванием части членов любую перестановку чисел $1, 2, \cdots, n$ (т. е. любую последовательность из $n$ чисел, в которую каждое из чисел 1, 2, входит по одному разу). Например, последовательность (1, 2, 3, 1, 2, 1, 3) является универсальной для $n = 3$, а последовательность (1, 2, 3, 2, 1, 3, 1) не универсальна, так как из нее никаким вычеркиванием нельзя получить перестановку (3, 1, 2). Цель этой задачи - получить оценку числа членов самой короткой универсальной последовательности (для данного $n$).
а) Приведите пример универсальной последовательности из $n^2$ членов.
б) Приведите пример универсальной последовательности из $n^2 - n + 1$ членов.
в) Докажите, что любая универсальная последовательность состоит не менее чем из $n(n+1) /2$ членов.
г) Докажите, что при $n = 4$ самая короткая универсальная последовательность состоит из 12 членов.
д) Попробуйте найти для данного $n$ как можно более короткую универсальную последовательность. (Жюри умеет строить универсальную последовательность из $n^2 - 2n + 4$ членов.)
Подробнее
а) Приведите пример универсальной последовательности из $n^2$ членов.
б) Приведите пример универсальной последовательности из $n^2 - n + 1$ членов.
в) Докажите, что любая универсальная последовательность состоит не менее чем из $n(n+1) /2$ членов.
г) Докажите, что при $n = 4$ самая короткая универсальная последовательность состоит из 12 членов.
д) Попробуйте найти для данного $n$ как можно более короткую универсальную последовательность. (Жюри умеет строить универсальную последовательность из $n^2 - 2n + 4$ членов.)
Подробнее
Задача по математике - 3753
На окружности расположены $n$ действительных чисел, сумма которых равна нулю. Одно из этих чисел равно 1.
а) Докажите, что есть два соседних числа, различающихся не менее чем на $4/n$.
б) Докажите, что есть число, отличающееся от среднего арифметического двух своих соседей не менее чем на $8/n^2$.
в) Оценку,предложенную в предыдущем пункте, можно улучшить. Попробуйте заменить в ней число 8 каким-нибудь большим числом так, чтобы утверждение этой задачи по-прежнему выполнялось для всех натуральных чисел.
г) Докажите, что для $n = 30$ на окружности есть число, отличающееся от среднего арифметического двух своих соседей не менее чем на 2/113. Приведите пример набора из 30 чисел на окружности, в котором ни одно число не отличается от среднего арифметического двух своих соседей более чем на 2/113.
Подробнее
а) Докажите, что есть два соседних числа, различающихся не менее чем на $4/n$.
б) Докажите, что есть число, отличающееся от среднего арифметического двух своих соседей не менее чем на $8/n^2$.
в) Оценку,предложенную в предыдущем пункте, можно улучшить. Попробуйте заменить в ней число 8 каким-нибудь большим числом так, чтобы утверждение этой задачи по-прежнему выполнялось для всех натуральных чисел.
г) Докажите, что для $n = 30$ на окружности есть число, отличающееся от среднего арифметического двух своих соседей не менее чем на 2/113. Приведите пример набора из 30 чисел на окружности, в котором ни одно число не отличается от среднего арифметического двух своих соседей более чем на 2/113.
Подробнее
Задача по математике - 3754
В вершинах правильного $n$-угольника с центром в точке $О$ расставлены числа (+1) и (-1). За один шаг разрешается изменить знак у всех чисел, стоящих в вершинах какого-либо правильного $k$-угольника с центром $О$ (при этом мы допускаем и 2-угольники, понимая под 2-угольником отрезок с серединой в точке $О$). Докажите, что в случаях а), б), в) существует такое первоначальное расположение (+1) и (-1), что из него ни за какое число шагов нельзя получить набор из одних (+1):
а) $n = 15$;
б) $n = 30$;
в) $n$ - любое число, большее 2;
г) Попробуйте пояснить для произвольного $n$, чему равно наибольшее число $k(n)$ различных расстановок (+1) и (-1), среди которых ни одну нельзя получить из другой за несколько шагов. Докажите, например, что $K(200) = 2^{80}$.
Подробнее
а) $n = 15$;
б) $n = 30$;
в) $n$ - любое число, большее 2;
г) Попробуйте пояснить для произвольного $n$, чему равно наибольшее число $k(n)$ различных расстановок (+1) и (-1), среди которых ни одну нельзя получить из другой за несколько шагов. Докажите, например, что $K(200) = 2^{80}$.
Подробнее
Задача по математике - 3762
Написан многочлен $x^{10} + \ast x^9 + \ast x^8 + \cdots + \ast x^2 + \ast x + 1$. Двое играют в такую игру. Сначала первый заменяет любую из звездочек некоторым числом, затем второй заменяет числом любую из оставшихся звездочек, затем снова первый заменяет одну из звездочек числом и т. д. (всего 9 ходов). Если у полученного многочлена не будет действительных корней, то выигрывает первый игрок, а если будет хотя бы один корень - выигрывает второй. Может ли второй игрок выиграть при любой игре первого?
Подробнее
Подробнее
Задача по математике - 3764
Будем называть $2n$-значное число особым, если око само является точным квадратом, и числа, образованные его первыми цифрами и его последними $n$ цифрами, также являются точными квадратами (при этом второе $n$-значное число может начинаться с цифры 0, но не должно быть равно нулю, а первое не может начинаться с нуля).
а) Найдите все двузначные и четырехзначные особые числа.
б) Возможны ли шестизначные особые числа? (Докажите, что их нет или приведите пример такого числа,)
в) Докажите, что существует хотя бы одно 20-значное особое число.
г) Докажите, что существует не более 10 особых 100-значных чисел.
д) Докажите, что существует хотя бы одно 30-значное особое число.
Подробнее
а) Найдите все двузначные и четырехзначные особые числа.
б) Возможны ли шестизначные особые числа? (Докажите, что их нет или приведите пример такого числа,)
в) Докажите, что существует хотя бы одно 20-значное особое число.
г) Докажите, что существует не более 10 особых 100-значных чисел.
д) Докажите, что существует хотя бы одно 30-значное особое число.
Подробнее
Задача по математике - 3765
Дано множество положительных чисел $\{a_1, a_2, \cdots, a_n \}$. Для каждого его подмножества выпишем сумму входящих в него чисел (рассматриваются суммы из одного, двух, ..., $n$ слагаемых). Докажите, что все выписанные числа можно так разбить на $n$ групп, чтобы в каждой группе отношение наибольшего числа к наименьшему не превосходило 2.
Подробнее
Подробнее
Задача по математике - 3768
Даны натуральные числа $x_1, x_2, \cdots, x_n$ и $y_1, y_2, \cdots, y_m$. Суммы $x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ и $y_1 + y_2 + \cdots + y_m$ равны между собой и меньше $mn$. Докажите, что в равенстве $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = y_1 + y_2 + \cdots + y_m$ можно вычеркнуть часть слагаемых так, чтобы снова получилось верное равенство.
Подробнее
Подробнее
Задача по математике - 3771
Мы будем рассматривать многочлены от одного переменного $x$ со старшим коэффициентом 1. Будем говорить, что два таких многочлена $P$ и $Q$ коммутируют, если многочлены $P(Q(x))$ и $Q(P(x))$ тождественно равны (т. е. после раскрытия скобок и приведения к стандартному виду все коэффициенты этих многочленов совпадают).
а) Для каждого числа а найдите все многочлены $Q$ степени не выше трех, коммутирующие с многочленом $P(x) = x^2 - \alpha$.
б) Пусть $P$ - многочлен степени 2, $k$ - натуральное число. Докажите, что существует не более одного многочлена степени $k$, коммутирующего с $P$.
в) Найдите многочлены степеней 4 и 8, коммутирующие с данным многочленом $P$ степени 2.
г) Многочлены $R$ и $Q$ коммутируют с одним и тем же многочленом $P$ степени 2. Докажите, что они коммутируют между собой.
д) Докажите, что существует бесконечная последовательность многочленов $P_2, P_3, P_4, \cdots, P_k, \cdots$, где $P_k$ - многочлен степени $k$ в которой любые два многочлена коммутируют и многочлен $P_2$ имеет вид $P_2(x) = x^2 - 2$.
Подробнее
а) Для каждого числа а найдите все многочлены $Q$ степени не выше трех, коммутирующие с многочленом $P(x) = x^2 - \alpha$.
б) Пусть $P$ - многочлен степени 2, $k$ - натуральное число. Докажите, что существует не более одного многочлена степени $k$, коммутирующего с $P$.
в) Найдите многочлены степеней 4 и 8, коммутирующие с данным многочленом $P$ степени 2.
г) Многочлены $R$ и $Q$ коммутируют с одним и тем же многочленом $P$ степени 2. Докажите, что они коммутируют между собой.
д) Докажите, что существует бесконечная последовательность многочленов $P_2, P_3, P_4, \cdots, P_k, \cdots$, где $P_k$ - многочлен степени $k$ в которой любые два многочлена коммутируют и многочлен $P_2$ имеет вид $P_2(x) = x^2 - 2$.
Подробнее
Задача по математике - 3772
Обозначим через $a_n$ целое число, ближайшее к $\sqrt{n}$. Найдите сумму
$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_{1980}}$.
Подробнее
$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_{1980}}$.
Подробнее
Задача по математике - 3775
На плоскости (или в пространстве) задано конечное множество $K_0$. К нему добавляются все точки, которые можно получить симметричным отражением одной точки этого множества относительно другой. Полученное множество обозначается $K_1$. Аналогично из множества $K_1$ получается $K_2$, из $K_2 - К_3$ и т.д.
а) Пусть множество $K_0$ состоит из двух точек $A$ и $B$ на расстоянии 1. При каком наименьшем $n$ в множестве $K_n$ найдется точка, находящаяся на расстоянии 1000 от точки $A$?
б) Пусть $K_0$ состоит из трех вершин правильного треугольника площади 1. Найдите площадь наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего множество $K_n (n = 1, 2, \cdots)$.
В следующих пунктах $K_0$ - множество из четырех точек, являющихся вершинами правильного тетраэдра единичного объема.
в) Рассмотрим наименьший выпуклый многогранник, содержащий все точки множества $K_1$. Сколько и каких граней у этого многогранника?
г) Чему равен объем этого многогранника?
д) Найдите объем наименьшего выпуклого многогранника, содержащего множества $K_n$ (при $n = 2, 3, \cdots)$.
Подробнее
а) Пусть множество $K_0$ состоит из двух точек $A$ и $B$ на расстоянии 1. При каком наименьшем $n$ в множестве $K_n$ найдется точка, находящаяся на расстоянии 1000 от точки $A$?
б) Пусть $K_0$ состоит из трех вершин правильного треугольника площади 1. Найдите площадь наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего множество $K_n (n = 1, 2, \cdots)$.
В следующих пунктах $K_0$ - множество из четырех точек, являющихся вершинами правильного тетраэдра единичного объема.
в) Рассмотрим наименьший выпуклый многогранник, содержащий все точки множества $K_1$. Сколько и каких граней у этого многогранника?
г) Чему равен объем этого многогранника?
д) Найдите объем наименьшего выпуклого многогранника, содержащего множества $K_n$ (при $n = 2, 3, \cdots)$.
Подробнее
Задача по математике - 3777
Докажите, что существует такая бесконечная ограниченная последовательность $x_n$, что для любых различных $m$ и $k$ выполнено неравенство
$|x_m - x_k| \geq \frac{1}{|m-k|}$.
Подробнее
$|x_m - x_k| \geq \frac{1}{|m-k|}$.
Подробнее
Задача по математике - 3778
Пусть $f(x) = x^2 - x + 1$. Докажите, что для любого натурального числа $m > 1$ числа $m, f(m), f(f(m)), \cdots$ попарно взаимно просты.
Подробнее
Подробнее