Правильный октаэдр с ребром $e$ пересекается плоскостью, параллельной одной из его граней. Найдите периметр и площадь полученного сечения.
Подробнее
Докажем, что выражение
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$
не будет целым ни при каком $n > 1$.
Подробнее
Покажите, что не существует трех последовательных нечетных чисел, каждое из которых представляло бы собой сумму двух квадратов, отличных от нуля.
Подробнее
Пусть заданы две взаимно перпендикулярные прямые и пусть какой-нибудь эллипс перемещается по плоскости, постоянно касаясь обеих прямых. Определите, какую линию опишет при этом центр эллипса.
Подробнее
Ось цилиндрического отверстия, проделанного в шаре, имеет в длину 10 с м и лежит на диаметре этого шара. Чему равен объем оставшейся части шара?
Подробнее
Покажите, что целое число, записанное в системе счисления с нечетным основанием, нечетно в том и только в том случае, если оно содержит нечетное число нечетных цифр.
Подробнее
Покажите, что пространство можно заполнить ячейками, имеющими форму ромбических додекаэдров.
Подробнее
Две противоположные вершины прямоугольника со сторонами $x$ и $y$ совмещены. Найдите длину линии сгиба.
Подробнее
У равнобедренного треугольника $ABC$ угол при вершине $C = 20^{ \circ}$. На боковых сторонах $AC$ и $BC$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$ так, что угол $ABN = 60^{ \circ}$, а угол $BAN = 50^{ \circ}$. Докажите, не прибегая к тригонометрии, что угол $BMN = 30^{ \circ}$.
Подробнее
Выясните, справедливо ли следующее утверждение: если деревьев больше, чем листьев на каждом из них, то по меньшей мере на двух деревьях число листьев одинаково.
Подробнее
Допустим, что с помощью некоторой триангуляции мы разбили сферу на «страны». Здесь под триангуляцией мы понимаем такое разбиение сферы, при котором каждая получившаяся «страна» граничит (то есть имеет общий участок границы ненулевой длины) ровно с тремя остальными «странами». Вершину графа, состоящего из граничных линий, мы назовем четной или нечетной, если из нее выходит соответственно четное или нечетное число таких линий. Можно ли построить такую триангуляцию сферы, при которой получились бы ровно две нечетные вершины, причем эти вершины оказались бы смежными?
Подробнее
Через внутреннюю точку $P$ треугольника $ABC$ проведем прямые, параллельные его сторонам. При этом каждая сторона разобьется на три отрезка. Обозначим средние отрезки сторон $a, b$ и $c$ соответственно через $a^{ \prime}, b^{ \prime}$ и $c^{ \prime}$. Покажите, что
$\frac{a^{ \prime}}{a} + \frac{b^{ \prime}}{b} + \frac{c^{ \prime}}{c} = 1$.
Подробнее
Я хочу предложить вам одну разновидность известной игры в «двадцать вопросов», суть которой такова. Я задумываю натуральное число, а вы должны отгадать его, задав не более двадцати вопросов, на каждый из которых можно ответить только «да» или «нет». Чему равно наибольшее чнсло, задумав которое, я все еще смогу получить от вас правильный ответ после двадцати вопросов?
Подробнее
Из фанерного круга диаметром 80 см выпилены два меньших круга, диаметры которых равны соответственно 20 и 10 см. Чему равен диаметр наибольшего круга, который можно выпилить из оставшегося куска фанеры?
Подробнее
Рождественское поздравление A MERRY XMAS TO ALL представляет собой криптарифм, где каждая буква означает вполне определенную десятичную цифру, а каждое слово заменяет квадратное число. Расшифруйте эту запись, если известно, кроме того, что сумма цифр в каждом слове также совпадает с некоторым квадратом.
Подробнее
