Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что $AB\parallel CD$, $BC\parallel AD$, $AC\parallel DE$, $CE\perp BC$. Докажите, что $EC$ - биссектриса угла $BED$.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ некоторая точка диагонали $AC$ принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам $AB$ и $CD$, а некоторая точка диагонали $BD$ принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам $AD$ и $BC$. Докажите, что $ABCD$ - прямоугольник.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны. Точка $D$ внутри треугольника такова, что угол $ADC$ вдвое больше угла $ABC$. Докажите, что удвоенное расстояние от точки $B$ до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом $ADC$, равно $AD+DC$.
Подробнее
В четырёхугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна диагонали $AC$ и перпендикулярна стороне $AD$, а диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. На стороне $AD$ взята такая точка $K$, что $AC=AK$. Биссектриса угла $ADC$ пересекает $BK$ в точке $M$. Найдите угол $ACM$.
Подробнее
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $B$ и $D$ равны, $CD=4BC$, а биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $CD$. Чему может быть равно отношение $AD:AB$?
Подробнее
Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$, в котором $AB=CD$, выбрана точка $P$ таким образом, что сумма углов $PBA$ и $PCD$ равна $180^{\circ}$. Докажите, что $PB+PC\lt AD$.
Подробнее
Машинистка напечатала десять писем и адреса на десяти конвертах, но рассеянная секретарша разложила эти письма по конвертам, нисколько не заботясь о соответствии между письмом и адресатом. Правда, в каждый конверт она положила только по одному письму. Какова вероятность того, что ровно девять писем попали в предназначенные для них конверты?
Подробнее
Найдите все решения следующей системы уравнений:
$\begin{cases} + y + z + w = 10 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 30 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} + w^{3} = 100 \\ xyzw = 24 \end{cases}$
Подробнее
Некий тест состоит из 26 вопросов. За каждый неверный ответ у испытуемого вычитается пять очков, а за каждый правильный - ему начисляется восемь очков. Испытуемый ответил на все вопросы. На сколько вопросов он ответил правильно, если в итоге сумма полученных им очков равнялась нулю?
Подробнее
Докажите, что в любом выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведении противолежащих сторон.
Подробнее
Разложите на множители, не группируя члены, выражение
$x^{8} - x^{7}y + x^{6}y^{2} - x^{5}y^{3} + x^{4}y^{4} - x^{3}y^{5} + x^{2}y^{6} - xy^{7} + y^{8}$.
Подробнее
Сколько отрицательных корней имеет уравнение
$x^{4} - 5x^{3} - 4x^{2} - 7x + 4 = 0$?
Подробнее
Два миллиона отмеченных точек целиком расположены внутри окружности, диаметр которой равен 1 см. Существует ли прямая, по каждую сторону от которой находилось бы ровно по одному миллиону таких точек?
Подробнее
Покажите, что существует бесконечно много простых чисел.
Подробнее