Доказать, что не существует правильной четырехугольной пирамиды, у которой длины всех ребер, полная поверхность и объем являются целыми числами.
Подробнее
Решить уравнение $8^{x}(3x + 1)=4$.
Подробнее
Доказать, что для любых значений $a, b, c \in \mathbf{R}$ уравнение
$(x-a) (x-b) + (x-b) (x-c) + (x-c) (x-a)=0$
имеет хотя бы одно решение.
Подробнее
Доказать, что уравнение
$x^{4} + 5x^{3} + 6x^{2} – 4x -16 = 0$
имеет ровно два решения.
Подробнее
Найти все пары чисел $a >1, b > 0$, для которых уравнение $a^{x} = x^{b}$ имеет ровно одно положительное решение. Указать это решение для каждой пары найденных значений $a, b$.
Подробнее
При каждом значении $a \in \mathbf{R}$ решить уравнение
$(a-1) \left ( \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x \cos x} \right ) = 2$.
Подробнее
Найти все значения $x \in [0, \pi/2]$, удовлетворяющие уравнению $\cos^{8} x + \sin^{80 x}= 97/128$.
Подробнее
Найти все пары натуральных чисел $A \neq B$, для которых система
$
\begin{cases}
\cos Ax + \cos Bx=0,&\text{}\\
A \sin Ax+ B \sin Bx=0,&\text{}
\end{cases}
$
имеет решение.
Подробнее
Найти все пары чисел $x, y \in (0, \pi /2)$, удовлетворяющие системе
$\begin{cases}
\frac{\cos x}{\cos y}=2 \cos^{2}y,&\text{}\\
\frac{\sin x}{\sin y}=2 \sin^{2} y,&\text{}
\end{cases}
$
Подробнее
Решить уравнение
$(\sin(x-y)+1)(2 \cos (2x-y)+1)=6$.
Подробнее
При каждом значении $n \in \mathbf{N}$ решить уравнение
$\sin x \sin 2x \cdots \sin nx + \cos x \cos 2x \cdots \cos nx = 1$.
Подробнее
При каждом значении $n \in \mathbf{N}$ решить уравнение $(x+y)^{n} = x^{n}+y^{n}$.
Подробнее
Решить систему
$\begin{cases}
x + xy + y = 2 + 3 \sqrt{2},&\text{}\\
x^{2} + y^{2}=6.&\text{}
\end{cases}
$
Подробнее
Для каждой пары значений $n,k \in \mathbf{N}$ найти все наборы неотрицательных чисел $x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}$, удовлетворяющие системе
$\begin{cases}
x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \cdots + x_{n}^{k} = 1,&\text{}\\
(1 + x_{1})(1 + x_{2}) \cdots (1 + x_{n}) = 1.&\text{}
\end{cases}
$
Подробнее
Решить систему
$\begin{cases}
2x + x^{2}y = y,&\text{}\\
2y + y^{2}z = z,&\text{}\\
2z + z^{2}x = x.&\text{}
\end{cases}
$
Подробнее
