Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ - корни уравнения
$x^{2} - (a + d)x + ad - bc = 0$.
Доказать, что тогда $x^{3}_{1}$ и $x^{3}_{2}$ - корни уравнения
$y^{2}(a^{3} + d^{3} + 3abc + 3bcd)y + (ad - bc)^{3} = 0$.
Подробнее
Доказать, что выражение
$A = 2903^{n} - 803^{n} - 464^{n} + 261^{n}$
при любых натуральных $n$ делится на 1897.
Подробнее
Пусть $a, b, c, d$ и $m$ - такие целые числа, что
$am^{3} + bm^{2} + cm + d$
делится на 5, причем число $d$ на 5 не делится. Доказать, что всегда можно найти такое целое число $n$, для которого
$dn^{3} + cn^{2} + bn + a$
также будет делиться на 5.
Подробнее
Построить треугольник $ABC$, если известна сторона $AB$, радиус $r$ вписанной окружности и радиус $r_{c}$ вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$ и продолжений сторон $AC$ и $BC$.
Подробнее
С отвесной скалы высотой 300 м одна за другой упали две капли воды. Вторая капля начала падать, когда первая уже успела пройти 0,001 мм. На каком расстоянии друг от друга будут находиться капли в тот момент, когда первая капля достигнет подножия скалы?
(Ответ требуется вычислить с точностью до 0,1 мм; сопротивлением воздуха пренебречь.)
Подробнее
Доказать, что сумма $n$-х степеней
$1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}$,
где $n$ - целое положительное число, делится на 5 в том и только в том случае, если показатель степени $n$ не делится на 4.
Подробнее
Доказать, что число
$u = ctg 25,5^{ \circ }$
является корнем квадратного уравнения, а число
$v = \frac {1}{ \sin 25,5^{ \circ }}$ -
корнем уравнения четвертой степени, причем коэффициенты обоих уравнений суть целые числа и коэффициенты при старших степенях равны 1.
Подробнее
Доказать, что если $a$ и $b$ - положительные целые числа, то число членов арифметической прогрессии
$a, 2a, 3a \cdots , ba$
делящихся на $b$, равно наибольшему общему делителю чисел $a$ и $b$.
Подробнее
Доказать, что: а) всякий квадратный трехчлен
$Ax^{2} + Bx + C$
с известными численными коэффициентами можно представить в виде
$k \frac {x( x - 1)}{1 \cdot 2} + lx + m$,
где коэффициенты $k, l$ и $m$ имеют вполне определенные численные значения;
б) квадратный трехчлен
$Ax^{2} + Bx + C$
принимает целочисленные значения при всех целых $x$ в том и только в том случае, если при записи его в виде
$k \frac {x( x - 1)}{1 \cdot 2} + lx + m$
коэффициенты $k, l$ и $m$ - целые числа.
Подробнее
Пусть $O$ - центр сферы $K, P$ и $Q$ - точки, лежащие вне $K$. Проведем вокруг точки $P$ как вокруг центра сферу радиуса $PO$, а вокруг точки $Q$ как вокруг центра сферу радиуса $QO$. Доказать, что площади тех частей этих сфер, которые окажутся внутри $K$, равны.
Подробнее
Известны площадь треугольника $S$ и угол при вершине $C$. Какими должны быть стороны $a$ и $b$, сходящиеся в вершине $C$, для того чтобы сторона $c$, противолежащая вершине $C$, имела наименьшую длину?
Подробнее
Пусть $n = 2^{p - 1}(2^{p} - 1)$, где $2^{p} - 1$ - простое число. Доказать, что сумма всех делителей числа $n$, отличных от самого $n$, в точности равна $n$.
Подробнее
Если значения
$x = \sin \alpha $, $y = \sin \beta $
заданы, то выражение
$z = \sin ( \alpha + \beta )$
в общем случае может принимать четыре различных значения. Написать уравнение, которое бы связывало $x, y$ и $z$ и не содержало бы радикалов и тригонометрических Функций. Найти также значения $x :/и y$, при которых $z = \sin ( \alpha + \beta )$ принимает меньше четырех значений.
Подробнее
Пусть $A, B, C$ и $D$ - вершины ромба. Обозначим через
$k_{1}$ окружность, проходящую через вершины $B, C, D$ ;
$k_{2}$ окружность, проходящую через вершины $A, C, D$ ;
$k_{3}$ окружность, проходящую через вершины $A, B, D$ ;
$k_{4}$ окружность, проходящую через вершины $A, B, C$.
Доказать, что в вершине $B$ окружности $k_{1}$ и $k_{3}$ пересекаются под таким же углом, под каким окружности $k_{2}$ и пересекаются в вершине $A$.
Подробнее
Доказать, что если в какую-нибудь окружность вписан выпуклый пятиугольник, все углы которого равны, то его стороны также равны.
Подробнее