Пусть $f(x) \in C^{\infty}(\mathbf{R}), f(0) = 0, f^{(k)}(0) = 0$ и $f^{(k)}(x) \geq 0$ для всех $k \in \mathbf{N}$ и $x > 0$. Доказать, что $f(x) = 0$ при $x > 0$.
Подробнее
Разложить в ряд по степеням $x$ функцию $e^{x \cos \alpha} \sin (x \sin \alpha)$.
Подробнее
Пусть $f(x) = 1 + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots$ и пусть все коэффициенты в разложении $f^{\prime}(x)/f(x)$ по степеням $x$ по модулю не превосходят 2. Доказать, что $|a_{n}| \leq n + 1$.
Подробнее
Даны действительные числа $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots , \lambda_{n}$ такие, что $\lambda_{1}^{k} + \lambda_{2}^{k} + \cdots + \lambda_{n}^{k}> 0$ при $k = 1, 2, 3, \cdots$. Положим
$f(t) = \frac{1}{(1 - \lambda_{1}t)(1 - \lambda_{2}t) \cdots (1 - \lambda_{n}t)}$
Доказать, что $f^{(k)}(0) > 0$ при $k = 1, 2, 3, \cdots$.
Подробнее
Функция $f(x)$ трижды дифференцируема на $\mathbf{R}$. При этом функции $f(x), f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x), f^{\prime \prime \prime} (x)$ всюду положительны. Доказать, что существует такое положительное число $a$, что $f(x) > ax^{2}$ при любом $x > 0$.
Подробнее
Квадратный трехчлен $ax^{2} + bx + c$ принимает только положительные значения. Доказать, что $lim_{x \rightarrow \infty} x^{2} \frac{d}{dx^{2}} \sqrt{ax^{2} + bx + c} = 0$.
Подробнее
Функция $f(x)$ определена на $[0, + \infty]$ и имеет непрерывную производную.
а) Известно, что $f(x) + f^{\prime}(x) \rightarrow A$ при $x \rightarrow + \infty$. Доказать, что $f(x) \rightarrow A$ при $x \rightarrow + \infty$.
б) Известно, что $f(x) – f^{\prime}(x) \rightarrow A$ при $x \rightarrow + \infty$. Можно ли утверждать, что $f(x) \rightarrow A$ при $x \rightarrow + \infty$?
Подробнее
Функция $\phi(x)$ дважды дифференцируема на полуоси $[0, + \infty)$. Известно, что $\phi > 0, \phi^{\prime}(x) > 0$ и $\frac{\phi(x)\phi^{\prime \prime}(x)}{(\phi^{\prime}(x))^{2}} \leq 2$
для всех $x \in [0, + \infty)$. Доказать, что $lim_{x \rightarrow + infty} \frac{\phi^{\prime}(x)}{(\phi(x))^{2}} = 0$.
Подробнее
Пусть $p(x)$ - действительная аналитическая функция и $0 < \prod_{n=0}^{\infty} p^{(n)} (0) < \infty$. Найти $lim_{x \rightarrow \infty} \frac{p^{\prime}(x)}{p(x)}$.
Подробнее
Действительная функция $f$, определенная в окрестности точки $x$, называется гладкой в этой точке, если
$lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) – 2f(x) + f(x-h)}{h} = 0$.
а) Доказать, что если $f$ имеет производную в точке $x$, то $f$ является гладкой в $x$.
б) Доказать, что если функция $f$ является гладкой во всех точках интервала, то она дифференцируема в несчетном множестве точек этого интервала.
в) Построить функцию, гладкую во всех точках интервала и недифференцируемую в некоторой его точке.
Подробнее
Доказать, что если Функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема на $\mathbf{R}$, то функция $\frac{f(x) – f(0)}{x}$, доопределенная по непрерывности в нуле, также будет бесконечно дифференцируемой.
Подробнее
Доказать, что существуют дифференциальные операторы $A$ и $B$:
$A = \sum_{k=0}^{n} a_{k}(x) \frac{d^{k}}{dx^{k}} \not \equiv 0$,
$B = \sum_{k=0}^{m} b_{k}(x) \frac{d^{k}}{dx^{k}} \not \equiv 0$
($a_{k}(x)$ и $b_{k}(x)$ - бесконечно дифференцируемые функции) такие, что $A \circ d/dx = B \circ x$. (Мы считаем, что $F \circ G(f) = F(G(f))$.)
Подробнее
Вычислить интеграл
$\int_{0}^{\pi} \sqrt{1 + \cos 2x} dx$.
Подробнее
Вычислить интеграл
$\int_{0}^{1} ln x ln(1 - x)dx$,
зная, что
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}$.
Подробнее
Доказать, что для любого целого $n$ справедливо равенство
$\int_{0}^{2 \pi} \sin (\sin x + nx) dx = 0$.
Подробнее