Доказать, что существуют положительные иррациональные числа $a$ и $b$, для которых число $a^{b}$ является натуральным.
Подробнее
Доказать, что сумма
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$
не является целым числом ни при каком значении $n \in \mathbf{N}$, большем 1.
Подробнее
Доказать, что любое число $n \in \mathbf{N}$, большее 32, представимо в виде суммы нескольких натуральных чисел, сумма обратных величин которых равна 1.
Указание. Значения $n = 33, 34, 35, \cdots 73$ требуемому условию удовлетворяют.
Подробнее
Запись числа $n \in \mathbf{N}$, кратного 17, в двоичной системе счисления содержит ровно 3 цифры 1. Доказать, что в этой записи содержится не менее 6 цифр 0, а если их ровно 7, то число $n$ является четным.
Подробнее
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, обладающие следующим свойством: если записать рядом числа $n^{3}$ и $n^{4}$ (в десятичной системе счисления), то в полученной записи каждая из 10 цифр $0, 1, \cdots , 9$ встретится ровно 1 раз.
Подробнее
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, обладающие следующим свойством: пятая степень суммы цифр десятичной записи числа $n$ равна $n^{2}$.
Подробнее
Доказать, что если знаменатель правильной дроби не превосходит 100, то в десятичной записи этой дроби не могут встретиться три цифры 1, 6, 7, идущие подряд в указанном порядке.
Подробнее
Доказать, что любое простое число вида
$2^{2^{n}} + (n \in \mathbf{N})$
не представимо в виде разности пятых степеней двух натуральных чисел.
Подробнее
Существует ли значение $n \in \mathbf{N}$, при котором числа
$2^{n+1}-1$ и $2^{n-1}(2^{n}-1)$
одновременно являются кубами целых чисел?
Подробнее
Доказать, что если числа $m,n \in \mathbf{N}$ удовлетворяют неравенству $\sqrt{7} - m/n > 0$, то $\sqrt{7} - m/n > 1/mn$.
Подробнее
Определить, какие цифры в разрядах единиц и десятых стоят в десятичной записи числа
$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{1980}$.
Подробнее
Доказать, что для любых значений $m,n \in \mathbf{N}$ существует число $k \in \mathbf{N}$, удовлетворяющее равенству
$(\sqrt{m} + \sqrt{m-1})^{n} = \sqrt{k} + \sqrt{k-1}$
Подробнее
Доказать, что существует бесконечно много чисел вида
$5^{n}(n \in \mathbf{N})$,
в десятичной записи каждого из которых можно выделить не менее 1976 цифр 0, идущих подряд.
Подробнее
Доказать, что для любого значения $m \in \mathbf{N}$ существует бесконечно много чисел вида
$5^{n}(n \in \mathbf{N})$,
у которых каждая из $m$ последних цифр десятичной записи имеет четность, отличную от четности соседних с ней цифр.
Подробнее
Доказать, что если длины сторон прямоугольника - нечетные числа, то внутри этого прямоугольника нет точки, расстояние от которой до любой из четырех его вершин является целым числом.
Подробнее
