Найти все решения уравнения
$y^{2}+ y = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x$
во множестве целых чисел.
Подробнее
Найти все решения уравнения
$4^{x} + 4^{y} + 4^{z} = u^{2}$
во множестве целых чисел.
Подробнее
Решить уравнение
$\frac{x}{y} = \frac{ (x^{2} - y^{2} )^{ \frac{y}{x} } + 1 }{ (x^{2} - y^{2} )^{ \frac{y}{x} } -1}$.
во множестве натуральных чисел.
Подробнее
Вычислить сумму $[ \sqrt{1} ] + [ \sqrt{2} ] + [ \sqrt{3} ] + \cdots + [ \sqrt{n^{2} - 1 } ] $.
Подробнее
Доказать, что
$[2 \alpha + 2 \beta ] \geq [ \alpha + \beta ] + [ \alpha ] + [ \beta ]$.
Подробнее
По кругу расположены $n$ положительных чисел $a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{n}$. Обозначим через $b_{i}(i = 1, 2, \cdots , n)$ сумму $m$ последовательных чисел, начиная с $a_{i}$, расположенных по часовой стрелке. Доказать, что при $m < n$ $m^{n} \: a_{1}a_{2} \cdots a_{n} \leq b_{1}b_{2} \cdots b_{n}$, причем равенство имеет место лишь в том случае, когда $a_{1} = a_{2}= \cdots = a_{n}$.
Подробнее
Дан треугольник $ABC$. На его сторонах $AB$ и $BC$ построены внешним образом квадраты $ABMN$ и $BCPQ$. Докажите, из середины отрезка $NP$ сторона $AC$ видна под прямым углом.
Подробнее
Даны окружность, две точки $P$ и $Q$ этой окружности и прямая. Найдите на окружности такую точку $M$, чтобы прямые $MP$ и $MQ$ отсекали на данной прямой отрезок $AB$ данной величины.
Подробнее
Окружности радиусов 2 и 3 с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $B$, а большую - в точке $C$. Найдите площадь треугольника $BCO_{2}$, если $\angle ABO_{1}=30^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов 2 и 10 с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $B$, а большую - в точке $C$. Найдите площадь треугольника $BCO_{2}$, если $\angle ABO_{1}=22{,}5^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов 3 и 9 с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $B$, а большую - в точке $C$. Найдите площадь треугольника $BCO_{2}$, если $\angle ABO_{1}=30^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов 1 и 7 с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $B$, а большую - в точке $C$. Найдите площадь треугольника $BCO_{2}$, если $\angle ABO_{1}=22{,}5^{\circ}$.
Подробнее
Окружности радиусов 5 и 8 с центрами соответственно $O_{1}$ и $O_{2}$ касаются в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, вторично пересекает меньшую окружность в точке $B$, а большую - в точке $C$. Найдите площадь треугольника $BCO_{2}$, если $\angle ABO_{1}=15^{\circ}$.
Подробнее
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбрана произвольная точка $D$. В треугольники $ABD$ и $ACD$ вписаны окружности с центрами $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $BKD$ и $CLD$ вторично пересекаются на фиксированной окружности.
Подробнее