Построить функцию, непрерывную на $[0, 1]$ и имеющую в каждой точке $y$ образа либо 1, либо 3 прообраза, причем некоторая точка $y$ имеет 3 прообраза.
Подробнее
Существует ли непрерывная функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ такая, что при рациональном $x \: f(x)$ иррационально, а при иррациональном $x \: f(x)$ рационально?
Подробнее
Число $y \in \mathbf{R}$ называется экстремальным значением функции $f$, если существует точка $x_{0}$ такая, что $f(x_{0}) = y$ и $x_{0}$ - точка локального максимума или минимума функции $f$. Доказать, что множество экстремальных значений непрерывной функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ не более чем счетно.
Подробнее
Функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ такова, что $|f(a) – f(b)| < |a - b|$ для любых $a \neq b$. Доказать, что если $f(f(f(0))) = 0$, то $f(0) = 0$.
Подробнее
Дифференцируема ли в нуле функция $f(x) = \sqrt[3]{e^{x} – 1 – x - \frac{x^{2}}{2}}$? (Мы считаем, что $\sqrt[3]{-u} = - \sqrt[3]{u}$ при $u > 0$.)
Подробнее
Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на $[0, 1], f^{\prime}(0) = 1$ и $f^{\prime}(1) = 0$. Доказать, что $f^{\prime}(x) = c$ в некоторой точке $c \in (0, 1)$.
Подробнее
Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[0, 1]$ и дифференцируема на интервале $(0, 1)$. Доказать, это если $f(0) = f(1) = 0$, то $f^{\prime}(x) = f(x)$ в некоторой точке $x \in (0, 1)$.
Подробнее
Функции $f$ и $g$ непостоянны на интервале $(a, b)$. Для каждой точки $x \in (a, b)$ выполняются условия $f(x) + g(x) \neq 0, f(x)g^{\prime}(x) – f^{\prime}(x)g(x) = 0$. Доказать, что $g(x)$ отлична от нуля для всех $x \in (a, b)$ и отношение $f(x)/g(x)$ постоянно на $(a, b)$.
Подробнее
Функция $f$, дифференцируемая в точке $x_{0}$, называется выпуклой (вогнутой) в этой точке, если существует такая окрестность $U$ точки $x_{0}$, что для любой точки $x \in U$ имеет место неравенство $f(x) \geq f(x_{0}) + f^{\prime}(x_{0})(x – x_{0})$ (соответственно $f(x) \leq f(x_{0}) + f^{\prime}(x_{0})(x – x_{0})$.
Доказать, что любая функция, дифференцируемая на отрезке, выпукла или вогнута хотя бы в одной внутренней точке этого отрезка.
Подробнее
Пусть $a(x)$ - непрерывно дифференцируемая функция, $a(x) \geq 1, f(x)$ имеет непрерывную вторую производную, $f(0) = f^{\prime}(0) = 0$ и $(af^{\prime})^{\prime}(x) + f(x) \geq 0$ для всех $x$. Доказать, что $f(\sqrt{2}) \geq 0$ (все функции определены на ( $- \infty, + \infty)$).
Подробнее
Существует ли нелинейная функция, определенная на всей действительной оси, имеющая производные всех порядков и такая, что при любом натуральном $n$ ее $n$-я производная всюду по модулю не превосходит $1/2^{n}$?
Подробнее
а) Пусть функция $f(x) n$ раз непрерывно дифференцируема на отрезке $[a, b]$ и имеет на нем не менее $n$ нулей (с учетом кратности). Доказать, что
$max_{x \in [a,b]} |f(x)| \leq \frac{(b-a)^{n}}{n!} max_{x \in [a, b]} |f^{(n)}(x)|$.
б) Функция $f(x) \in C^{2} [0, 1]$ имеет не менее двух нулей на отрезке $[0, 1]$ (с учетом кратности) и, кроме того, $|f^{\prime \prime}(x)| \leq 1$ для всех $x \in [0, 1]$. Как велико может быть число
$max_{x \in [0, 1]} |f(x)|$?
Подробнее
Функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ имеет непрерывную производную порядка $p$. Пусть $M_{0} = sup_{x \in \mathbf{R}} |f(x)|, M_{k} = sup_{x \in \mathbf{R}} |f^{(k)}(x)| < \infty$ при $k = 1, \cdots, p$. Доказать, что для любого такого $k$ справедливо неравенство
$M_{k} \leq 2^{\frac{k(p-k)}{2}} M_{0}^{1 - \frac{k}{p}} M_{p}^{\frac{k}{p}}$.
Подробнее
Пусть $f(x) = (1 – x + x^{2})/(1 + x + x^{2})$. Найти $f^{(s)}(0) (s = 1, 2, \cdots)$.
Подробнее
Доказать, что существуют постоянные $A, B, C$ такие, что для любой функции $f(x)$, трижды дифференцируемой на $[- 1, 1]$, справедливо неравенство
$A_{f}(-h) + Bf(0) + Cf(h) = f^{\prime}(0)h + O(h^{3})(|h| \leq 1)$.
Подробнее