На числовой оси взят интервал длины $1/n (n \in \mathbf{N})$. Доказать, что в этом интервале содержится не более $(n+1)/2$ несократимых дробей вида $p/q$, где $p,q \in \mathbf{Z}, 1 \leq 7 \leq n$.
Подробнее
Для заданного значения $n \in \mathbf{N}$ определить, сколько существует троек натуральных чисел, сумма которых равна $6n$.
Подробнее
Доказать, что число способов, которыми из набора $1, 2, \cdots ,49$ можно выбрать шестерку различных чисел так, чтобы хотя бы два из них были последовательными, равно
$C_{49}^{6}-C_{44}^{6}$.
Подробнее
Для заданного положительного рационального значения $c \neq 1$ доказать, что множество натуральных чисел можно представить в виде объединения двух непересекающихся подмножеств А и В так, чтобы отношение любых двух чисел из множества А, а также отношение любых двух чисел из множества В не равнялось числу $c$.
Подробнее
Сумма целых чисел $a_{1},a_{2}, \cdots , a_{n}$ равна единице. Доказать, что тогда среди чисел
$b_{i}=a_{i}+2 a_{i+1}+3 a_{i+2}+ \cdots + (n-i+1) a_{n} + (n-i+2)a_{1}+ (n-i+3) a_{2} +$
$+ \cdots + na_{i-1}(i=1,2, \cdots , n)$
нет одинаковых.
Подробнее
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, для каждого из которых существует строка из $2n$ чисел, обладающая следующим свойством: для любого значения $k=1, \cdots , n$ в строке имеются 2 числа, равных $k$, между которыми находится ровно $k$ чисел.
Подробнее
Для непустого множества $M \subset Q$ выполнены два условия:
1) если $a \in \mathbf{M}$ и $b \in \mathbf{M}$ то $a+b \in \mathbf{M}$ и $ab \in \mathbf{M}$;
2) если $r \in \mathbf{Q}$, то верно ровно одно из трех следующих утверждений: $r \in \mathbf{M}, -r \in \mathbf{M}, r=0$.
Доказать, что множество $M$ совпадает с множеством всех положительных рациональных чисел.
Подробнее
Конечное множество $B \subset \mathbf{R}$ назовем базисом для множества $M \subset \mathbf{R}$, если каждое число из множества $M$ может быть единственным образом представлено в виде произведения целых степеней чисел из множества $B$. Верно ли, что для любого конечного множества положительных чисел существует базис?
Подробнее
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ имеет место равенство
$\sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k} \leq n} \frac{1}{i_{1}i_{2} \cdots i_{k}} =n$
где суммирование ведется по всем возможным наборам чисел
$ i_{1} < i_{2} < \cdots < i_{k}, k=l, 2, \cdots, n$,
из множества ${1; 2; ...; n}$.
Подробнее
Доказать, что если число $n \in \mathbf{N}$ не является целой степенью простого числа, то существует перестановка
$(i_{1};i_{2}; \cdots ; i_{n})$
чисел $1, 2, \cdots, n$, для которой справедливо равенство
$\sum_{k=1}^{n} k \cos (2 \pi i_{k} / n) = 0$.
Подробнее
Определить сумму всех натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых цифры образуют возрастающую или убывающую последовательность.
Подробнее
Набор $(a_{1}; \cdots ; a_{n})$ натуральных чисел, удовлетворяющих равенству
$a_{1} + 2a_{2} + \cdots + na_{n}= 1979$,
назовем четным, если число $n$ четно, и назовем нечетным, если число $n$ нечетно. Доказать, что четных наборов существует столько же, сколько нечетных.
Подробнее
Доказать, что для любых чисел $a_{1}, \cdots, a_{m} \in \mathbf{N}$:
а) существует такой набор из $n < 2^{m}$ чисел, в котором все подмножества имеют разные суммы чисел, причем среди этих сумм содержатся все числа
$a_{1}, \cdots , a_{m}$;
б) существует такой набор из $n \leq m$ чисел, в котором все подмножества имеют разные суммы чисел, причем среди этих сумм содержатся все числа $a_{1}, \cdots , a_{m}$.
Подробнее
Существует ли множество $M \subset \mathbf{N}$, удовлетворяющее следующим двум условиям:
1) любое число $n \in \mathbf{N}$ большее 1, представимо в виде $n = a + b$, где $a,b \in M$;
2) если каждое из чисел $a, b, c, d \in M$ больше 10, то равенство $a + b=c + d$ возможно лишь в случае $a = c$ или $a = d$?
Подробнее
Доказать, что если положительные числа $a, b, c \in \mathbf{Q}$ удовлетворяют равенству $\sqrt{} + \sqrt{b} = c$, то $\sqrt{a}, \sqrt{b} \in \mathbf{Q}$.
Подробнее
