Три отрезка длиной соответственно 3, 4 и 5 см соединяют внутреннюю точку $P$ равностороннего треугольника с его вершинами. Чему равна длина стороны этого треугольника?
Подробнее
Рассмотрим на плоскости два конгруэнтных треугольника, которые можно получить друг из друга с помощью зеркального отражения. На какие части нужно разрезать эти треугольники для того, чтобы каждый из них можно было перевести в другой, просто перемещая полученные части по плоскости (без отражений) ?
Подробнее
Пусть заданы две взаимно перпендикулярные прямые и пусть какой-нибудь эллипс перемещается по плоскости, постоянно касаясь обеих прямых. Определите, какую линию опишет при этом центр эллипса.
Подробнее
Две противоположные вершины прямоугольника со сторонами $x$ и $y$ совмещены. Найдите длину линии сгиба.
Подробнее
У равнобедренного треугольника $ABC$ угол при вершине $C = 20^{ \circ}$. На боковых сторонах $AC$ и $BC$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$ так, что угол $ABN = 60^{ \circ}$, а угол $BAN = 50^{ \circ}$. Докажите, не прибегая к тригонометрии, что угол $BMN = 30^{ \circ}$.
Подробнее
Через внутреннюю точку $P$ треугольника $ABC$ проведем прямые, параллельные его сторонам. При этом каждая сторона разобьется на три отрезка. Обозначим средние отрезки сторон $a, b$ и $c$ соответственно через $a^{ \prime}, b^{ \prime}$ и $c^{ \prime}$. Покажите, что
$\frac{a^{ \prime}}{a} + \frac{b^{ \prime}}{b} + \frac{c^{ \prime}}{c} = 1$.
Подробнее
Из фанерного круга диаметром 80 см выпилены два меньших круга, диаметры которых равны соответственно 20 и 10 см. Чему равен диаметр наибольшего круга, который можно выпилить из оставшегося куска фанеры?
Подробнее
Разделите окружность на четыре равные части, используя только циркуль.
Подробнее
Покажите, что в прямоугольном треугольнике, стороны которого выражаются целыми числами, один из катетов кратен 3.
Подробнее
Некоторый четырехугольник площади $Q$ разделен своими диагоналями на 4 треугольника, площади которых равны соответственно $A, B, C$ и $D$. Покажите, что
$A \cdot B \cdot C \cdot D = \frac{(A +B)^{2} (B + C)^{2} (C + D)^{2} (D + A)^{2}}{Q^{4}}$.
Подробнее
Разрежьте правильный двенадцатиугольник на квадраты и равносторонние треугольники.
Пусть $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{12}$ - последовательные вершины правильного двенадцатиугольника. Что можно сказать о пересечении диагоналей $P_{1}P_{9}, P_{2}P_{11}$ и $P_{4}P_{12}$?
Подробнее
С характерным для него упорством профессор Евклид Парацельсо Бомбаст Умбуджо пытается доказать следующую теорему: если в треугольнике $ABC$ ортоцентр $H$, центр $I$ вписанной и центр $O$ описанной окружностей образуют равносторонний треугольник, то
$\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$.
Прекратите мучения профессора, показав, что, во-первых, треугольник $HIO$ не может быть равносторонним и, во-вторых, что если выполняется соотношение $\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$, то треугольника $HIO$ вообще не существует.
Подробнее
Квадрат и треугольник равной площади вписаны в некоторый полукруг, причем одна из сторон треугольника совпадает с диаметром этого полукруга. Покажите, что центр окружности, вписанной в данный треугольник, лежит на одной из сторон данного квадрата.
Подробнее
Пусть в единичном квадрате задано 9 произвольных точек. Покажите, что среди всех треугольников, вершины которых расположены в данных точках, есть по крайней мере один, чья площадь не превосходит $\frac{1}{8}$. Обобщите этот результат.
Подробнее
Мистер Хиппи, заядлый искатель правды, слегка задремал на уроке. Проснувшись, он услышал, как учитель геометрии говорил, что, соединив между собой середины сторон произвольного четырехугольника, можно получить параллелограмм. Мистер Хиппи, дабы никто не превзошел его в умении строить гипотезы «на песке», решил, что если на сторонах произвольного четырехугольника выбрать точки, делящие эти стороны на 3 равные части, а затем такие точки соединить между собой, то при этом снова получится параллелограмм. Какова вероятность того, что мистер Хиппи прав?
Докажите, что, кроме середин, не существует других точек, делящих стороны в заданном отношении $r$ и таких, что, соединяя их между собой, мы получаем параллелограмм независимо от длины сторон исходного четырехугольника.
Подробнее
