Из фанерного круга диаметром 80 см выпилены два меньших круга, диаметры которых равны соответственно 20 и 10 см. Чему равен диаметр наибольшего круга, который можно выпилить из оставшегося куска фанеры?
Подробнее
Разделите окружность на четыре равные части, используя только циркуль.
Подробнее
Покажите, что в прямоугольном треугольнике, стороны которого выражаются целыми числами, один из катетов кратен 3.
Подробнее
Некоторый четырехугольник площади $Q$ разделен своими диагоналями на 4 треугольника, площади которых равны соответственно $A, B, C$ и $D$. Покажите, что
$A \cdot B \cdot C \cdot D = \frac{(A +B)^{2} (B + C)^{2} (C + D)^{2} (D + A)^{2}}{Q^{4}}$.
Подробнее
Разрежьте правильный двенадцатиугольник на квадраты и равносторонние треугольники.
Пусть $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{12}$ - последовательные вершины правильного двенадцатиугольника. Что можно сказать о пересечении диагоналей $P_{1}P_{9}, P_{2}P_{11}$ и $P_{4}P_{12}$?
Подробнее
С характерным для него упорством профессор Евклид Парацельсо Бомбаст Умбуджо пытается доказать следующую теорему: если в треугольнике $ABC$ ортоцентр $H$, центр $I$ вписанной и центр $O$ описанной окружностей образуют равносторонний треугольник, то
$\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$.
Прекратите мучения профессора, показав, что, во-первых, треугольник $HIO$ не может быть равносторонним и, во-вторых, что если выполняется соотношение $\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$, то треугольника $HIO$ вообще не существует.
Подробнее
Квадрат и треугольник равной площади вписаны в некоторый полукруг, причем одна из сторон треугольника совпадает с диаметром этого полукруга. Покажите, что центр окружности, вписанной в данный треугольник, лежит на одной из сторон данного квадрата.
Подробнее
Пусть в единичном квадрате задано 9 произвольных точек. Покажите, что среди всех треугольников, вершины которых расположены в данных точках, есть по крайней мере один, чья площадь не превосходит $\frac{1}{8}$. Обобщите этот результат.
Подробнее
Мистер Хиппи, заядлый искатель правды, слегка задремал на уроке. Проснувшись, он услышал, как учитель геометрии говорил, что, соединив между собой середины сторон произвольного четырехугольника, можно получить параллелограмм. Мистер Хиппи, дабы никто не превзошел его в умении строить гипотезы «на песке», решил, что если на сторонах произвольного четырехугольника выбрать точки, делящие эти стороны на 3 равные части, а затем такие точки соединить между собой, то при этом снова получится параллелограмм. Какова вероятность того, что мистер Хиппи прав?
Докажите, что, кроме середин, не существует других точек, делящих стороны в заданном отношении $r$ и таких, что, соединяя их между собой, мы получаем параллелограмм независимо от длины сторон исходного четырехугольника.
Подробнее
Пусть задан треугольник $ABC$. Пусть, далее, $A^{ \prime}, B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}$ лежат строго внутри отрезков $BC, CA$ и $AB$, причем $AA^{ \prime}, BB^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ пересекаются в точке $G$, а $\frac{AG}{GA^{ \prime}} = \frac{BG}{GB^{ \prime}} = \frac{CG}{GC^{ \prime}}$. Докажите. что $AA^{ \prime}, BB^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ представляют собой медианы треугольника $ABC$. Как изменится данное утверждение. если слова «строго внутри отрезков» заменим словами «на прямых»?
Подробнее
Пусть $I, O, H$ - соответственно центры вписанной, описанной окружностей и ортоцентр треугольника $ABC$, у которого $C > B > A$. Покажите, что точка $I$ обязана лежать внутри треугольника $BOH$.
Подробнее
Найдите такую область, ограниченную простым замкнутым многоугольником, чтобы для любых двух сторон данного многоугольника существовала бы внутренняя точка, из которой эти стороны были бы видны. Однако при этом ни из одной внутренней точки не должны быть видны все стороны одновременно.
Подробнее
Покажите. что ни у какого равностороннего треугольника, вписанного в эллипс (с неравными осями) или описанного около него, центр не может совпадать с центром эллипса.
Подробнее
Палка длиной $d$ помещена в полусферический чан диаметром $d$. Пренебрегая толщиной палки и считая, что сила трения отсутствует, определите угол, который палка будет составлять с диаметром в положении равновесия.
Подробнее
В треугольнике со сторонами $a, b, v$ прямая, соединяющая центр тяжести с центром вписанной окружности, перпендикулярна биссектрисе угла, противолежащего стороне $c$. Покажите, что среднее арифметическое чисел $a, b, v$ равно среднему гармоническому чисел $a$ и $b$.
Подробнее
