Докажите, что перпендикуляр, восставленный из середины отрезка, соединяющего основания двух высот треугольника, делит третью сторону этого треугольника на две равные части.
Подробнее
У прямоугольной карты один угол загибается так, что его вершина попадает на сторону карты. При этом получаются три прямоугольных треугольника, площади которых образуют арифметическую прогрессию. Если площадь наименьшего из этих треугольников равна 3 $см^{2}$, то чему равна площадь наибольшего из них?
Подробнее
Докажите, что в произвольном треугольнике сумма синусов всех его углов не превосходит $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$, причем равенство достигается только в случае равностороннего треугольника.
Подробнее
Вершина $A$ квадрата $ABCD$ расположена в центре квадрата $MNPQ$, а сторона $AB$ отсекает третью часть стороны $MN$. Найдите площадь общей части двух квадратов, если $AB = MN$.
Подробнее
Пятиугольник состоит из квадрата, к одной стороне которого симметрично присоединены два прямоугольных равнобедренных треугольника. Разрежьте этот пятиугольник на три части так, чтобы из них можно было сложить новый равнобедренный прямоугольный треугольник.
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ опустим высоту $AH$. Выбрав на $AH$ произвольную точку $D$, проведем прямую $BD$ до пересечения со стороной $AC$ в точке $E$. Проведем далее прямую $CD$ до пересечения со стороной $AB$ в точке $F$. Докажите, что угол $AHE$ равен углу $AHF$.
Подробнее
Покажите, что любой заданный треугольник можно прямыми разрезами разделить на четыре части, из которых загем удается сложить два треугольника, подобных данному.
Подробнее
На плоскости даны 6 кругов, причем центр каждого из них не принадлежит никакому из остальных 5 кругов. Покажите, что у этих 6 кругов нет ни одной общей точки.
Подробнее
Один из углов прямоугольной комнаты отгорожен с помощью двух одинаковых ширм, длина каждой из которых 4 м. Как следует расположить ширмы, чтобы площадь отгороженного участка была максимальной?
Подробнее
Докажите, что если в некотором треугольнике перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис внутренних углов этого треугольника, пересекаются в одной точке, то данный треугольник - равнобедренный.
Подробнее
Найдите радиус круга, вписанного в криволинейный треугольник, у которого две стороны совпадают с катетами данного прямоугольного треугольника $ABC$, а третья сторона представляет собой полуокружность, построенную на гипотенузе $AB$, как на диаметре, и расположенную вне треугольника $ABC$.
Подробнее
Пусть $AB$ и $BC$ - две прилежащие стороны правильного девятиугольника, вписанного в круг с центром $O$. Пусть, далее, $M$ - середина $AB$, а $N$ - середина радиуса, перпендикулярного к $BC$. Покажите, что угол $OMN = 30^{ \circ}$.
Подробнее
Квадратное поле огорожено дощатым забором, который сколочен из 10-метровых досок, расположенных горизонтально. Высота забора равна четырем доскам. Известно, что число досок в заборе равно площади поля, выраженной в гектарах. Определите размеры поля.
Подробнее
У какого из двух треугольников вписанный круг больше: у треугольника со сторонами 17, 25 и 26 или у треугольника со сторонами 17, 25 и 28?
Подробнее
Покажите, что в произвольном четырехугольнике середина отрезка, соединяющего середины диагоналей, совпадает с точкой пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон данного четырехугольника.
Подробнее
