В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $K$, а на стороне $BC$ - точка $M$ так, что $S_{KMC} : S_{AKMB} = 5:6, CK = 5$. Найти $\frac{CM}{MB}#.
Подробнее
В равнобедренный треугольник $ABC$ вписана окружность. Параллельно его основанию $AC$ проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках $D$ и $E$. Найти радиус окружности, если $DE =8, AC =18$.
Подробнее
Доказать, что если из вершины $A$ неравнобедренного треугольника $ABC$ ($AB \neq AC$) проведена биссектриса, а из середины $BC$ восстановлен перпендикуляр, то точка их пересечения лежит на окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AD$ и $BE$, пересекающиеся в точке $O$. Известно, что отрезок $OE$ имеет длину 1, а вершина $C$ лежит на окружности, проходящей через точки $E, D, O$. Найти стороны и углы треугольника $EDO$.
Подробнее
Доказать, что касательные к двум пересекающимся окружностям, проведенные из любой точки продолжения их общей хорды, равны между собой.
Подробнее
В равнобедренный треугольник $PMK$ с основанием $MK$ вписана окружность с радиусом $2 \sqrt{3}$. Высота $PH$ делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1 : 2, считая от вершины $P$. Найдите периметр треугольника $PMK$.
Подробнее
Треугольник $ABC$ со стороной $BC = 4$ и углом $C$, равным $30^{ \circ}$ вписан в окружность, радиуса 6. Найти среднюю линию этого треугольника, параллельную $AC$, и расстояние между точками, в которых ее продолжение пересекает окружность.
Подробнее
К двум окружностям с центрами $О$ и $О^{ \prime}$, касающимся внешним образом в точке $A$, проведена общая касательная $BC$ ($B$ и $C$ - точки касания). Доказать, что угол $BAC$ - прямой.
Подробнее
Трапеция $MNPQ$ вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее меньшее основание $MN =24, \sin \angle MQN =0,2$ и $\cos \angle PMQ = 0,6$.
Подробнее
В окружность с центром в точке $O$ вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны. Известно, что $\angle AOB = 3 \angle COD$. Найти площадь круга и сравнить с числом 510, если $CD =10$.
Подробнее
Доказать, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Подробнее
В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $K$ и прямую $BC$ в точке $P$. Найдите периметр треугольника $CDP$, если $AK =12, BK =9, PK=15$.
Подробнее
Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.
Подробнее
В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен $60^{ \circ}$, а площадь равна $24 \sqrt{3}$, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.
Подробнее
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 8 и 15. Найти среднюю линию трапеции.
Подробнее
