На площади задано 17 точек, из которых ни одна из трех не лежит на одной прямой. Каждые две точки соединены отрезком одного из трех цветов. Доказать, что существует треугольник с вершинами в данных точках, стороны которого закрашены в один и тот же самый цвет.
Подробнее
В квадрате со стороною 1 произвольно размещено 126 точек. Доказать, что какие-то 6 из них обязательно лежат в середине круга, радиус которого равняется $\frac{1}{7}$.
Подробнее
Окружность с центром $O$ вписана в прямоугольный треугольник $ABC$. Она касается гипотенузы $AB$ в точке $M$ , причём $AM =12$ и $BM =8$. Найдите площадь треугольника $AOB$.
Подробнее
Определить отношение длин медианы $PO$ и высоты $PE$, проведённых из вершины $P$ к гипотенузе $QR$ в прямоугольном треугольнике $PQR$, если $QO : QE =5 : 1$.
Подробнее
В треугольник со сторонами $AB =8, BC=6, AC = 4$ вписана окружность. Найти длину отрезка $DE$, где $D$ и $E$ - точки касания этой окружности со сторонами $AB$ и $AC$ соответственно.
Подробнее
Определить стороны треугольника, если медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят угол на три равные части, а сама медиана равна 10.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ сторона $AB = 24, \angle BAC = 60^{ \circ}$, радиус описанной окружности равен 13. Найти сторону $AC$.
Подробнее
Пусть равнобедренный треугольник $ABC$ имеет углы $B$ и $C$, равные $80^{ \circ}$. На отрезке $AC$ взята точка $D$, а на отрезке $AB$ точка $E$ так, что $\angle DBC =60^{ \circ}$ и $\angle ECB = 50^{ \circ}$. Найти угол $EDB$.
Подробнее
Доказать, что если в треугольнике из одной вершины проведены медиана, биссектриса и высота, то биссектриса лежит между медианой и высотой.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника $ABC$.
Подробнее
Доказать, что сумма медиан треугольника а) меньше $P$; б) больше $4P$, где $P$ - периметр треугольника.
Подробнее
Доказать, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
$\frac{a_{b}}{a_{c}} = \frac{b}{c}$.
Подробнее
Пусть $AA^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ - две высоты остроугольного треугольника $ABC$. Доказать, что $\Delta A^{ \prime}BC^{ \prime} \sim \Delta ABC$ с коэффициентом подобия $
cos \angle B$.
Подробнее
Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Подробнее
В треугольнике $PQR$ длина стороны $PQ$ не больше, чем 9, а длина стороны $PR$ не больше, чем 12. Площадь треугольника не меньше, чем 54. Найти длину его медианы, проведенной из вершины $P$.
Подробнее
