Докажите, что биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Подробнее
Докажите, что если биссектрисы двух внутренних углов некоторого треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.
Подробнее
Покажите, что если $k$ - произвольное действительное число, то кривая
$x^{4} + kx^{3}y - 6x^{2}y^{2} - kxy^{3} + y^{4} = 0$
делит окружность $x^{2} + y^{2} = 1$ на восемь равных частей.
Подробнее
Найдите площадь многоугольника, изображенного на рисунке.
Подробнее
Покажите, что если отрезки $a, b, c$ образуют треугольник, то отрезки $\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}$ также образуют некоторый треугольник.
Подробнее
Пусть внутри некоторого круга заданы две точки $A$ и $B$. Для какой из точек $C$, расположенных на окружности, угол $ACB$ принимает наибольшее значение?
Подробнее
Докажите, что если прямая, проведенная из вершины $C$ некоторого треугольника $ABC$, делит медиану, опущенную из вершины $A$, пополам, то она делит сторону $AB$ в отношении 1 : 2.
Подробнее
Найдите, не пользуясь радикалами, отношение площадей двух правильных шестиугольников, один из которых вписан в данную окружность, а другой описан вокруг нее.
Подробнее
Пусть $ABC$ - равносторонний треугольник, а $P$ - произвольная точка вписанной в него окружности. Докажите. что величина $(PA)^{2} + (PB)^{2} + (PC)^{2}$ постоянна.
Подробнее
Докажите. что медианы $AA^{ \prime}, BB^{ \prime}, CC^{ \prime}$ произвольного треугольника $ABC$ пересекаются в сдной точке.
Подробнее
Покажите, что в эллипс, оси которого не равны между собой, нельзя вписать правильный многоугольник. содержащий более четырех сторон.
Подробнее
Владелец одного ранчо решил огородить прямоугольный загон для скота площадью 5,445 га. Забор требовалось поставить только с трех сторон, так как с четвертой стороны будущего загона возвышался крутой утес. При каких размерах загона стоимость забора будет минимальной?
Подробнее
Внутри выпуклого стоугольника выбрано 30 точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Стоугольник разрезан на треугольники так, что совокупность вершин всех треугольников состоит из 30 выбранных точек и 100 вершин первоначального многоугольника. Сколько имеется треугольников?
Подробнее
Тысяча точек являются вершинами выпуклого тысячеугольника, в середине которого расположено 500 точек так, чтобы ни одни три из них не лежали на одной прямой. Многоугольники разрезают на треугольники, вершинами которых есть эти 500 точек. Сколько треугольников получится?
Подробнее
Из картона вырезано два одинаковых правильных восьмиугольника. В вершинах одного из них поставлены по порядку (против часовой стрелки) числа от одного до восьми. Можно ли расставить в вершинах другого восьмиугольника те же числа так, чтобы при любом наложении второй фигуры на первую какая-нибудь вершина попадала в вершину с тем же номером.
Подробнее
