Построить треугольник $ABC$, если известна сторона $AB$, радиус $r$ вписанной окружности и радиус $r_{c}$ вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$ и продолжений сторон $AC$ и $BC$.
Подробнее
С отвесной скалы высотой 300 м одна за другой упали две капли воды. Вторая капля начала падать, когда первая уже успела пройти 0,001 мм. На каком расстоянии друг от друга будут находиться капли в тот момент, когда первая капля достигнет подножия скалы?
(Ответ требуется вычислить с точностью до 0,1 мм; сопротивлением воздуха пренебречь.)
Подробнее
Пусть $O$ - центр сферы $K, P$ и $Q$ - точки, лежащие вне $K$. Проведем вокруг точки $P$ как вокруг центра сферу радиуса $PO$, а вокруг точки $Q$ как вокруг центра сферу радиуса $QO$. Доказать, что площади тех частей этих сфер, которые окажутся внутри $K$, равны.
Подробнее
Известны площадь треугольника $S$ и угол при вершине $C$. Какими должны быть стороны $a$ и $b$, сходящиеся в вершине $C$, для того чтобы сторона $c$, противолежащая вершине $C$, имела наименьшую длину?
Подробнее
Пусть $A, B, C$ и $D$ - вершины ромба. Обозначим через
$k_{1}$ окружность, проходящую через вершины $B, C, D$ ;
$k_{2}$ окружность, проходящую через вершины $A, C, D$ ;
$k_{3}$ окружность, проходящую через вершины $A, B, D$ ;
$k_{4}$ окружность, проходящую через вершины $A, B, C$.
Доказать, что в вершине $B$ окружности $k_{1}$ и $k_{3}$ пересекаются под таким же углом, под каким окружности $k_{2}$ и пересекаются в вершине $A$.
Подробнее
Доказать, что если в какую-нибудь окружность вписан выпуклый пятиугольник, все углы которого равны, то его стороны также равны.
Подробнее
Пусть $A_{1}A_{2}$ и $B_{1}B_{2}$ - диагонали прямоугольника, $O$ - точка их пересечения. Определить (и изобразить на геометрическом чертеже), где должна располагаться точка $P$ для того, чтобы одновременно выполнялись неравенства
$A_{1}P > OP, A_{2}P > OP, B_{1}P > OP, B_{2}P > OP$.
Подробнее
Единичный квадрат разбит прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных частей, и средняя часть выброшена. Каждый из оставшихся восьми меньших квадратов в свою очередь разделен прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных частей, и его средняя часть также выброшена, после чего аналогичная операция проделана над каждым из оставшихся квадратов и т. д. Предположим, что операция повторена $n$ раз.
а. Сколько квадратов со стороной $ \frac {1}{3^{n}} $ осталось?
б. Чему равен предел, к которому стремится сумма площадей квадратов, выброшенных на $n$ - м шаге, при неограниченном возрастании $n$?
Подробнее
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ между вершинами $A$ и $B$ произвольно выбрана точка $C_{1}$ которая соединена отрезком прямой с вершиной $C$.
Через вершину $A$ проведена прямая, параллельная отрезку $CC_{1}$ до пересечения с продолжением стороны $BC$ в точке $A_{1}$, а через вершину $B$ проведена прямая, параллельная отрезку $CC_{1}$, до пересечения с продолжением стороны $AC$ в точке $B_{1}$.
Доказать, что
$ \frac {1}{AA_{1}} + \frac {1}{BB_{1}} = \frac {1}{CC_{1}}$.
Подробнее
Пусть $K, L, M$ и $N$ - центры квадратов, построенных (вовне) на сторонах ромба. Доказать, что четырехугольник $KLMN$ - квадрат.
Подробнее
Доказать, что расстояние от точки $P$, произвольно выбранной внутри параллелограмма $ABCD$, до ближайшей вершины параллелограмма никогда не превосходит радиуса $R$ описанной окружности треугольника $ABC$.
Подробнее
В окружность вписаны два правильных десятиугольника различных типов. Один десятиугольник (правильный выпуклый) построен так: окружность разделили на десять равных частей, после чего соседние точки деления соединили отрезками прямых. Другой десятиугольник (правильный звездчатый) построен иначе: окружность сначала разделили на десять равных частей, после чего каждую точку деления соединили хордами с точками деления, отстоящими от нее на $\frac{3}{10}$ окружности. Доказать, что разность сторон звездчатого и выпуклого правильных десятиугольников равна радиусу окружности.
Подробнее
Доказать, что дуга, стягивающая любой острый центральный угол, меньше среднего арифметического синуса и тангенса этого угла.
Подробнее
Пусть $A_{1}, B_{1}$ и $C_{1}$ - основания высот, опущенных на стороны $BC, CA$ и $AB$ треугольника $ABC$, а $M$ - точка пересечения высот. Доказать, что если $ABC$ - косоугольный треугольник, то центры окружностей, касающихся всех трех сторон треугольника $A_{1}B_{1}C_{1}$ (или их продолжений), совпадают с точками $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ и $M$. Чем отличается случай, когда треугольник $ABC$ тупоугольный, от того случая, когда треугольник $ABC$ остроугольный?
Подробнее
Угол $ \gamma $ при вершине $C$ треугольника равен $120^{ \circ } $, а стороны $CB$ и $CA$, между которыми заключен этот угол, равны $a$ и $b$. Найти биссектрису угла $ \gamma $ (выразить ее длину через стороны $a$ и $b$).
Подробнее