Доказать, что для любого значения $n in \mathbf{N}$ справедливо равенство
$\sum_{k=0}^{n} \frac{(2n)!}{(k!)^{2}((n-k)!)^{2}} = (C^{n}_{2n})^{2}$.
Подробнее
Для заданного значения $m \in \mathbf{N}$:
а) доказать, что число $\frac{1}{m+1} C^{m}_{2m}$ является натуральным;
б) найти наименьшее значение $k \in \mathbf{N}$, для которого число $\frac{k}{n+m+1} C^{n+m}_{2n}$ является натуральным при каждом натуральном значении $n \geq m$.
Подробнее
Доказать, что для любых натуральных значений $n \geq k$ наибольший общий делитель чисел $C^{k}_{n}, C^{k}_{n+1}, \cdots , C_{n+k}^{k}$ равен 1.
Подробнее
Доказать, что для любых значений $m, n \in \mathbf{N}$ число
$S_{m,n}=1+ \sum^{m}_{k=1} (-1)^{k} \frac{(n+k+1)!}{n!(n+k)}$
делится на $m!$, но при некоторых значениях $m,n \in \mathbf{N}$ число $S_{m,n}$ делится на $m!(n+1)$.
Подробнее
Доказать, что если число $p$ простое, то число $C^{p}_{2p} – 2$ делится на $p^{2}$.
Подробнее
Решить уравнение
$1! + 2! + \cdots + (x+1)!=y^{z+1}$
в натуральных числах.
Подробнее
Для заданного значения $n \in \mathbf{N}$, большего 1, обозначено
$m_{k}=n! + k, k \in \mathbf{N}$.
доказать, что для любого значения $k \in {1; \cdots ; n}$ существует простое число $p$, на которое делится число $m_{k}$ и не делится ни одно из остальных чисел
$m_{1}, \cdots , m_{k-1},m_{k+1}, \cdots , m_{n}$.
Подробнее
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ и простого числа $p$ следующие условия эквивалентны:
а) ни одно из чисел $C^{k}_{n}$ при $k = 0, 1, \cdots , n$ не делится на $p$.
б) $n=p^{s}m-1$, где $s \in \mathbf{Z}^{+},m \in \mathbf{N}, m < p$.
Подробнее
Доказать, что при любом разбиении множества
$X = {1;2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}$
на два подмножества хотя бы одно из полученных подмножеств содержит 3 таких числа, что сумма двух из них равна удвоенному третьему.
Подробнее
Найти сумму всех $7!$ чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр в числе 1234567.
Подробнее
Натуральные числа $a_{1},a_{2}, \cdots , a_{n}$ при делении на некоторое число $m \in \mathbf{N}$ дают разные остатки, причем $n > m/2$. Доказать, что для каждого числа $k \in \mathbf{Z}$ существуют такие номера
$i,j \in {1; \cdots ; n}$
(не обязательно различные), что число $a_{i} + a_{j} – k$ делится на $m$.
Подробнее
Даны 20 натуральных чисел $a_{1} < a_{2} < \cdots a_{20}$, не превосходящих 70. Доказать, что среди разностей $a_{j} – a_{k} (j > k)$ найдутся хотя бы 4 одинаковых числа.
Подробнее
Множество чисел $1, 2, \cdots , 100$ разбито на 7 подмножеств. Доказать, что хотя бы в одном из этих подмножеств найдутся или 4 числа $a, b, c ,d$ для которых $a + b = c + d$, или 3 числа $e, f, g$, для которых $e + f = 2g$.
Подробнее