Решить уравнение $2^{x}+1 = y^{2}$ в натуральных числах.
Подробнее
Доказать, что для любых значений $a,b,c,d \in \mathbf{Z}, a \neq b$, уравнение
$(x+ay+c)(x+by+d)=2$
в целых числах имеет не более четырех решений. Определить, при каких значениях $a ,b , c, d$ имеется ровно четыре различных решения.
Подробнее
Решить уравнение
$x(x+1)(x + 7)(x+8) =y^{2}$
в целых числах.
Подробнее
Решить уравнение
$x^{2}+xy+y^{2}=x^{2}y^{2}$
В целых числах.
Подробнее
?”?????°?·?°?‚??, ?‡?‚?? #n# ???»???
Подробнее
Решить уравнение
$\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{x \sqrt{3}}-\sqrt{y \sqrt{3}}$
в рациональных числах.
Подробнее
Доказать, что уравнение
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{1983}$
в натуральных числах имеет лишь конечное множество решений.
Подробнее
Доказать, что для любых значений $a,b \in \mathbf{Z}$, удовлетворяющих неравенствам $5a \geq 7b \geq 0$, система
$
\begin{cases}
x+ 2y +3z+7u =a,&\text{}\\
y+2z+5u=b,&\text{}
\end{cases}
$
в целых неотрицательных числах имеет решение.
Подробнее
Решить уравнение $x^{2}+y^{2}=3z^{2}$ в целых числах.
Подробнее
Доказать, что уравнение
$x^{3}+3y^{3}+9z^{3}-9xyz=0$
в рациональных числах имеет единственное решение $x=y=z=0$.
Подробнее
Решить уравнение
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}$
в целых числах.
Подробнее
Для каждого значения $n \in \mathbf{N}$ обозначим через $a_{n} \in \mathbf{Z}^{+}$ количество решений уравнения
$n^{2}+x^{2}=y^{2}$
в натуральных числах, больших $n$.
а) Доказать, что для любого числа $M$ неравенство $a_{n} > M$ справедливо хотя бы при одном значении $n \in \mathbf{N}$.
б) Верно ли, что $ lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}= \infty$?
Подробнее
Доказать, что для любого простого числа $p > 5$ уравнение
$x^{4} + 4^{x} = p$
в целых числах не имеет решений.
Подробнее