Построение четвёртого пропорционального. Даны отрезки $a$, $b$ и $c$. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок $x$, для которого $x:a=b:c$.
Подробнее
Даны отрезки $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, равный $\frac{abc}{de}$.
Подробнее
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равны 12 и 18 и пересекаются в точке $O$. Найдите стороны четырёхугольника с вершинами в точках пересечения медиан треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $AOD$.
Подробнее
Медианы $BB_{1}$ и $CC_{1}$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Известно, что $AM\perp B_{1}C_{1}$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
Подробнее
Средняя линия, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, равна половине стороны $AB$. Докажите, что треугольник $ABC$ - равнобедренный.
Подробнее
Окружность радиуса $R$, построенная на большем основании $AD$ трапеции $ABCD$ как на диаметре, касается меньшего основания $BC$ в точке $C$, а боковой стороны $AB$ - в точке $A$. Найдите диагонали трапеции.
Подробнее
Высота равнобедренной трапеции, опущенная из вершины меньшего основания, делит большее основание в отношении $1:3$. Найдите отношение оснований трапеции.
Подробнее
Боковая сторона, меньшее основание и диагональ равнобедренной трапеции равны соответственно 10, 6 и 14. Найдите большее основание.
Подробнее
Дан четырёхугольник $ABCD$, в котором $BC\parallel AD$. Точки $K$ и $M$ - середины сторон $CD$ и $AD$ соответственно. Известно, что отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются на диагонали $BD$. Докажите, что $ABCD$ - параллелограмм.
Подробнее
Одна из двух прямых, проходящих через точку $M$, касается окружности в точке $C$, а вторая пересекает эту окружность в точках $A$ и $B$, причём $A$ - середина отрезка $BM$. Известно, что $MC=2$ и $\angle BMC=45^{\circ}$. Найдите радиус окружности.
Подробнее
Прямые, касающиеся окружности в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $M$, а прямые, касающиеся той же окружности в точках $C$ и $D$, пересекаются в точке $N$, причём $NC\perp MA$ и $ND\perp MB$. Докажите, что $AB\perp CD$ или $AB\parallel CD$.
Подробнее
Окружность касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $M$, стороны $AC$ - в точке $N$, а сторону $AB$ пересекает в точках $K$ и $L$, причём $KLMN$ - квадрат. Найдите углы треугольника $ABC$.
Подробнее
Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, причём $CH=C_{1}H$ и $BH=2B_{1}H$. Найдите угол $BAC$.
Подробнее
Стороны треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен $120^{\circ}$. Окружность с центром на третьей стороне треугольника касается двух других сторон. Вторая окружность касается этих сторон и первой окружности. Найдите радиусы окружностей.
Подробнее
Дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Прямая, параллельная стороне, равной $a$, касается вписанной окружности треугольника и пересекает две другие стороны в точках $M$ и $N$. Найдите $MN$.
Подробнее