Высоты треугольника ABC пересекаются в точке О, а точки $A_{1},B_{1},C_{1}$ являются серединами сторон ВС, СА, АВ соответственно. Окружность с центром О пересекает прямую $B_{1}C_{1}$ в точках $D_{1}, D_{2}$, прямую $C_{1}A_{1}$ - в точках $E_{1},E_{2}$, а прямую $A_{1}B_{1}$ - в точках $F_{1}F_{2}$. Доказать, что
$AD_{1} = AD_{2} = BE_{1} = BE_{2} = CF_{1} = CF_{2}$.
Подробнее
Внутри треугольника ABC взята точка Р, а на сторонах АС и ВС взяты соответственно
точки M и L, для которых
$\angle PAC = \angle PBC, \angle PLC= \angle PMC = 90^{\circ}$.
Доказать, что если D - середина стороны АВ, то DM = DL.
Подробнее
Найти геометрическое место точек М, лежащих внутри равностороннего треугольника ABC и удовлетворяющих условию
$\angle MAB + \angle MBC + \angle MCA =90^{\circ}$.
Подробнее
Через $B_{ij}( i, j \in \{1; 2; 3\})$ обозначена точка, симметричная вершине $A_{i}$ данного неравнобедренного треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$ относительно его биссектрисы, проходящей через вершину $A_{j}$. Доказать, что прямые $B_{12}B_{21}, B_{13}B_{31}$ и $B_{23}B_{32}$ параллельны.
Подробнее
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов С треугольника ABC пересекают прямую АВ в точках L и М соответственно. Доказать, что если CL = CM, то
$AC^{2} + BC^{2} = 4R^{2}$,
где $R$ - радиус описанной окружности.
Подробнее
Внутри треугольника ABC взята точка М, для которой $\angle MBA = 30^{\circ}, \angle MAB = 10^{\circ}$. Найти $\angle AMC$, если $\angle ACB = 80^{\circ}$ и АС = ВС.
Подробнее
На сторонах ВС и АС треугольника ABC выбраны точки D и Е соответственно так, что $\angle BAD = 50^{\circ}, \angle ABE = 30^{\circ}$. Найти $\angle BED$, если $\angle ABC = \angle ACB = 50^{\circ}$.
Подробнее
На стороне ВС треугольника AВС взята точка Р, для которой РС = 2ВР. Найти $\angle ACB$, если $\angle ABC = 45^{\circ}, \angle APC = 60^{\circ}$.
Подробнее
Внутри равностороннего треугольника AВС взяты точки K, L, М, для которых $\angle KAB = \angle LBA= 15^{\circ}, \angle MBC = \angle KCB = 20^{\circ}, \angle LCA = \angle MAC = 25^{\circ}$. Найти углы треугольника KLM.
Подробнее
Доказать, что все точки окружности можно разбить на два множества так, чтобы среди вершин любого вписанного прямоугольного треугольника присутствовали точки обоих множеств.
Подробнее
Доказать, что четыре расстояния от точки окружности до вершин вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.
Подробнее
Биссектрисы $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$ треугольника ABC пересекаются в точке М. Доказать, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники $MB_{1}A, MC_{1}A, MC_{1}B, MA_{1}B, MA_{1}C$ и $MB_{1}C$, равны, то треугольник ABC равносторонний.
Подробнее
Семь точек в круге единичного радиуса расположены так, что расстояние между любыми двумя из них не меньше 1. Доказать, что одна из точек совпадает с центром круга.
Подробнее
Шесть кругов на плоскости расположены так, что центр каждого из них лежит вне остальных кругов. Доказать, что все шесть кругов не имеют общей точки.
Подробнее
На плоскости расположены непересекающиеся круги, каждый из которых касается по меньшей мере шести из остальных кругов. Доказать, что множество кругов бесконечно.
Подробнее
