Доказать, что для любых значений $a,b \in \mathbf{Z}$, удовлетворяющих неравенствам $5a \geq 7b \geq 0$, система
$
\begin{cases}
x+ 2y +3z+7u =a,&\text{}\\
y+2z+5u=b,&\text{}
\end{cases}
$
в целых неотрицательных числах имеет решение.
Подробнее
Решить уравнение $x^{2}+y^{2}=3z^{2}$ в целых числах.
Подробнее
Доказать, что уравнение
$x^{3}+3y^{3}+9z^{3}-9xyz=0$
в рациональных числах имеет единственное решение $x=y=z=0$.
Подробнее
Решить уравнение
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}$
в целых числах.
Подробнее
Для каждого значения $n \in \mathbf{N}$ обозначим через $a_{n} \in \mathbf{Z}^{+}$ количество решений уравнения
$n^{2}+x^{2}=y^{2}$
в натуральных числах, больших $n$.
а) Доказать, что для любого числа $M$ неравенство $a_{n} > M$ справедливо хотя бы при одном значении $n \in \mathbf{N}$.
б) Верно ли, что $ lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}= \infty$?
Подробнее
Доказать, что для любого простого числа $p > 5$ уравнение
$x^{4} + 4^{x} = p$
в целых числах не имеет решений.
Подробнее
Доказать, что для любого значения
$n \in \mathbf{N}$ уравнение
$x^{2}_{1}+ \cdots + x^{2}_{n}=y^{2}$
в натуральных числах имеет решение.
Подробнее
Доказать, что для любых значений $a,b \in \mathbf{N}$ уравнение $ax^{2} +by^{2} = 1$ в рациональных числах либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.
Подробнее
Доказать, что для любых взаимно простых чисел $a, b \in \mathbf{Z}$ уравнение $ax^{2} + by^{2} = z^{2}$ в целых числах имеет бесконечно много решений, удовлетворяющих условию $(x, y) = 1$.
Подробнее
Доказать, что ни при каком значении $n \in \mathbf{N}$, большем 1, уравнение $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ в натуральных числах не имеет решений, удовлетворяющих условиям $x \leq n, y \leq n$.
Подробнее
Решить уравнение
$x^{x+y}=(x+y)^{y}$
в положительных рациональных числах.
Подробнее
Доказать, что если число $n \in \mathbf{N}$ нечетное, то уравнение
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{n}$
в натуральных числах имеет решение тогда и только тогда, когда
$n = m (4k-1)$ при $m, k \in \mathbf{N}$.
Подробнее
Доказать, что множество всех значении $n \in \mathbf{N}$, для которых уравнение
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{n}$
в натуральных числах не имеет решений, не может быть представлено в виде объединения конечного множества арифметических прогрессий (как конечных, так и бесконечных).
Подробнее
Что больше:
$(17091982!)^{2}$ или $17091982^{17091982}$ ?
Подробнее
Найти все числа $n \in \mathbf{N}$, для которых при каком-либо значении
$k \in {1;2; \cdots ; n-1}$
имеет место равенство
$2C^{k}_{n}=C^{k-1}_{n}+C^{k+1}_{n}$.
Подробнее