Сорок цилиндров диаметра 1 см и одинаковой высоты плотно разместили в ящике в 5 рядов по 8 цилиндров в каждом так, чтобы они не «болтались» во время перевозки. Сколько цилиндров нужно удалить из ящика, чтобы, передвинув оставшиеся в нем цилиндры и добавив в конце вынутые цилиндры и еще один цилиндр, упаковать в этом ящике 41 цилиндр того же размера? Будут ли цилиндры «болтаться» в этом случае?
Подробнее
Покажите, что в прямоугольном треугольнике, стороны которого выражаются целыми числами, один из катетов кратен 3.
Подробнее
Сколькими способами 9 равных квадратиков (3 красных, 3 белых и 3 голубых) можно расположить в виде квадрата $3 \times 3$ так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались квадратики всех цветов?
Подробнее
Можно ли из 18 костей домино $2 \times 1$ сложить прочный квадрат? Мы назовем квадрат прочным, если ни одна прямая линия (отличная, разумеется, от границ квадрата), образованная краями домино, не соединяет противоположные стороны этого квадрата.
Подробнее
Некоторый четырехугольник площади $Q$ разделен своими диагоналями на 4 треугольника, площади которых равны соответственно $A, B, C$ и $D$. Покажите, что
$A \cdot B \cdot C \cdot D = \frac{(A +B)^{2} (B + C)^{2} (C + D)^{2} (D + A)^{2}}{Q^{4}}$.
Подробнее
При каком положительном целом $n$ величина $n^{4} + n^{2}$ разделится без остатка на $2n + 1$?
Подробнее
Утверждение «342=97» можно сделать справедливым, вставив между цифрами несколько алгебраических знаков, например $(-3 + 4) \cdot 2 = 9 - 7$. Можно ли придать смысл этому равенству, не вставляя никаких знаков?
Подробнее
Разрежьте правильный двенадцатиугольник на квадраты и равносторонние треугольники.
Пусть $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{12}$ - последовательные вершины правильного двенадцатиугольника. Что можно сказать о пересечении диагоналей $P_{1}P_{9}, P_{2}P_{11}$ и $P_{4}P_{12}$?
Подробнее
Докажите, для любого натурального $n$ существует множество из $n$ составных чисел, образующих арифметическую прогрессию, и таких, что все эти числа попарно взаимно просты.
Подробнее
Найдите все целые числа $x, y, z$, при которых величина $4^{x} + 4^{y} + 4^{z}$ представляв собой полный квадрат.
Подробнее
С характерным для него упорством профессор Евклид Парацельсо Бомбаст Умбуджо пытается доказать следующую теорему: если в треугольнике $ABC$ ортоцентр $H$, центр $I$ вписанной и центр $O$ описанной окружностей образуют равносторонний треугольник, то
$\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$.
Прекратите мучения профессора, показав, что, во-первых, треугольник $HIO$ не может быть равносторонним и, во-вторых, что если выполняется соотношение $\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$, то треугольника $HIO$ вообще не существует.
Подробнее
Могут ли величины $\sqrt{ \sin \theta}$ и $\sqrt{ \cos \theta}$ одновременно принимать рациональные значения для какого-нибудь $\theta$ из интервала $\left ( 0, \frac{ \pi}{2} \right )$?
Подробнее
Может ли натуральное число, которое в десятичной системе записывается с помощью $6k - 1$ единиц, быть простым?
Подробнее
Квадрат и треугольник равной площади вписаны в некоторый полукруг, причем одна из сторон треугольника совпадает с диаметром этого полукруга. Покажите, что центр окружности, вписанной в данный треугольник, лежит на одной из сторон данного квадрата.
Подробнее
Пусть в единичном квадрате задано 9 произвольных точек. Покажите, что среди всех треугольников, вершины которых расположены в данных точках, есть по крайней мере один, чья площадь не превосходит $\frac{1}{8}$. Обобщите этот результат.
Подробнее
