Две урны содержат красные и черные шары, не различимые на ощупь. Урна $A$ содержит 2 красных и 1 черный шар, урна $B$ - 101 красный и 100 черных шаров. Наудачу выбирается одна из урн, и вы получаете награду, если правильно называете урну после вытаскивания двух шаров из нее. После вытаскивания первого шара и определения его цвета вы решаете, вернуть ли в урну этот шар перед вторым вытаскиванием. Какой должна быть ваша стратегия?
Подробнее
После выборов, в которых участвуют два кандидата, $A$ и $B$, за них поступило $a$ и $b$ ($a > b$) бюллетеней соответственно, скажем, 3 и 2. Если подсчет голосов производится последовательным извлечением бюллетеней из урны, то какова вероятность того, что хотя бы один раз число вынутых бюллетеней, поданных за $A$ и $B$, было одинаково?
Подробнее
Игроки $A$ и $B$ в орлянку играют $N$ раз. После первого бросания каковы шансы на то, что в течение всей игры их выигрыши не совпадут?
Подробнее
Если хорда выбирается наудачу в заданном круге, то какова вероятность того, что ее длина больше радиуса круга?
Подробнее
Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти пять минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?
Подробнее
(а) Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью в сто монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной в каждом из 100 ящиков. Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен?
(б) Каков ответ в задаче 3878, если 100 заменить на $n$?
Подробнее
Чеканщик кладет $m$ фальшивых монет в ящик, содержащий всего $n$ монет. Король, подозревая чеканщика, извлекает случайным образом по одной монете из каждого из $n$ ящиков и проверяет их. Какова вероятность того, что в выборке из $n$ монет ровно $r$ фальшивых?
Подробнее
Споры, несущиеся по воздуху, производят маленькие колонии плесени на пластинках желатина в лаборатории. В среднем на пластинке имеется 3 колонии. Какая доля пластинок имеет ровно 3 колонии? Если среднее число колоний равно некоторому достаточно большому целому числу $m$, то какая доля пластинок содержит ровно $m$ колоний?
Подробнее
Разъезжающий булочник продает в среднем 20 кексов за одну поездку. Какова вероятность того, что он продаст четное число кексов? (Предполагается, что число покупок подчиняется закону Пуассона.)
Подробнее
При каком минимальном числе людей в компании вероятность того, что хотя бы два из них родились в один и тот же день, не меньше 1/2? (Годы рождения могут и не совпадать.)
Подробнее
В поисках парных дней рождения. Вы задались целью найти человека, день рождения которого совпадает с вашим. Сколько незнакомцев вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше, чем 1/2?
Подробнее
Соотношение между разными задачами о парных днях рождения. Пусть $P_{r}$ обозначает вероятность того, что по крайней мере два человека из компании в $r$ человек имеют один и тот же день рождения.
Каково должно быть $n$ в индивидуальной задаче о парных днях рождения для того, чтобы вероятность успеха приблизительно равнялась бы $P_{r}$?
Подробнее
Выходные дни и дни рождения. Согласно законам о трудоустройстве в городе $N$, наниматели обязаны предоставлять всем рабочим выходной, если хотя бы у одного из них день рождения, и принимать на службу рабочих независимо от их дня рождения. За исключением этих выходных рабочие трудятся весь год из 365 дней. Предприниматели хотят максимизировать среднее число человеко-дней в году. Сколько рабочих трудятся на фабрике в городе $N$?
Подробнее
Пьяница стоит на расстоянии одного шага от края пропасти. Он шагает случайным образом либо к краю утеса либо от него. На каждом шагу вероятность отойти от края равна $\frac{2}{3}$, а шаг к краю имеет вероятность $\frac{1}{3}$. Каковы шансы пьяницы избежать падения?
Подробнее
У игрока $M$ имеется 1 доллар, а у игрока $N$ - 2 доллара. После каждого тура один из игроков выигрывает у другого один доллар. Игрок $M$ более искусен, чем $N$, так что он выигрывает $\frac{2}{3}$ игр. Игроки состязаются до банкротства одного из них. Какова вероятность выигрыша для $M$?
Подробнее