В точках $A$ и $B$ прямой, по одну сторону от неё, восстановлены два перпендикуляра $AA_{1}=a$ и $BB_{1}=b$. Докажите, что точка пересечения прямых $AB_{1}$ и $A_{1}B$ будет находиться на одном и том же расстоянии от прямой $AB$ независимо от положения точек $A$ и $B$.
Подробнее
Теорема о пропорциональных отрезках на параллельных прямых. Если через точку, не лежащую ни на одной из двух данных параллельных прямых $l$ и $l_{1}$, проведены прямые, пересекающие $l$ в точках $A$, $B$ и $C$, а $l_{1}$ - в точках $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно, то отрезки $AB$ и $BC$ пропорциональны отрезкам $A_{1}B_{1}$ и $B_{1}C_{1}$, т.е. $\frac{AB}{BC}=\frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведены: $BK$ - медиана, $BE$ - биссектриса, $AD$ - высота. Найдите сторону $AC$, если известно, что прямые $BK$ и $BE$ делят отрезок $AD$ на три равные части и $AB=4$
Подробнее
Каждая из боковых сторон равнобедренного треугольника равна 7. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ высота $BD$ равна 6, медиана $CE$ равна 5, расстояние от точки пересечения отрезков $BD$ и $CE$ до стороны $AC$ равно 1. Найдите сторону $AB$.
Подробнее
Площадь треугольника $ABC$ равна $2\sqrt{3}$, сторона $BC$ равна 1, угол $BCA$ равен $30^{\circ}$. Точка $D$ стороны $AB$ удалена от точки $B$ на 3, $M$ - точка пересечения $CD$ с медианой $BE$. Найдите отношение $BM:ME$.
Подробнее
В равнобедренный треугольник $ABC$ вписан ромб $DECF$ так, что вершина $E$ лежит на отрезке $BC$, вершина $F$ лежит на отрезке $AC$ и вершина $D$ лежит на отрезке $AB$. Найдите длину стороны ромба, если $AB=BC=12$, $AC=6$.
Подробнее
В равнобедренной трапеции $ABCD$ дано: $AB=CD=3$, основание $AD=7$, $\angle BAD$ равен $60^{\circ}$. На диагонали $BD$ расположена точка $M$ так, что $BM:MD=3:5$. Какую из сторон трапеции: $BC$ или $CD$ пересекает продолжение отрезка $AM$?
Подробнее
В равнобедренной трапеции $ABCD$ основания $AD=12$, $BC=6$, высота равна 4. Диагональ $AC$ делит угол $BAD$ трапеции на две части. Какая из них больше?
Подробнее
В трапеции $ABCD$ большее основание $AD=19$, боковая сторона $AB=13$, а другая боковая сторона $CD=12$ и перпендикулярна основаниям. Биссектриса острого угла $BAD$ пересекает прямую $DC$ в точке $M$. Определите, где лежит точка $M$: на отрезке $DC$ или вне его?
Подробнее
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=2\sqrt{3}$, $AB=\sqrt{7}$, $BC=1$. Вне треугольника взята точка $K$ так, что отрезок $KC$ пересекает отрезок $AB$ в точке, отличной от $B$, и треугольник с вершинами $K$, $A$ и $C$ подобен исходному. Найдите угол $AKC$, если известно, что угол $KAC$ - тупой.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle CAB=75^{\circ}$, $\angle ABC=45^{\circ}$. На стороне $CA$ берётся точка $K$, причём $CK:AK=3$. На стороне $CB$ берётся точка $M$. Найдите $KM:AB$, если известно, что это отношение меньше $\frac{3}{4}$ и что прямая $MK$ отсекает от треугольника $ABC$ треугольник, ему подобный.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ точка $K$ на стороне $AB$ и точка $M$ на стороне $AC$ расположены так, что $\frac{AK}{KB}=\frac{3}{2}$, а $\frac{AM}{MC}=\frac{4}{5}$. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку $K$ параллельно стороне $BC$, делит отрезок $BM$.
Подробнее
Точка $D$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$, а точка $O$ расположена на отрезке $AD$, причём $AO:OD=9:4$. Прямая, проходящая через вершину $B$ и точку $O$, пересекает сторону $AC$ в точке $E$, причём $BO:OE=5:6$. Найдите отношение, в котором точка $E$ делит сторону $AC$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $D$, причём $AD=3$, косинус угла $BDC$ равен $\frac{13}{20}$, а сумма углов $ABC$ и $ADB$ равна $180^{\circ}$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $BC=2$.
Подробнее