В треугольнике $ABC$ даны длины сторон $AB=8$, $BC=6$ и биссектриса $BD=6$. Найдите длину медианы $AE$.
Подробнее
В правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$ вписана окружность. Эта окружность касается внешним образом трёх других окружностей того же радиуса в точках касания сторон треугольника. Центры внешних окружностей - соответственно $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$. Найдите площадь шестиугольника, получающегося при пересечении треугольников $ABC$ и $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$.
Подробнее
На окружности радиуса 5, описанной около правильного треугольника, взята точка $D$. Известно, что расстояние от точки $D$ до одной из вершин треугольника равно 9. Найдите сумму расстояний от точки $D$ до двух других вершин треугольника.
Подробнее
В прямоугольном треугольнике $KLM$ проведён отрезок $MD$, соединяющий вершину прямого угла с точкой $D$ на гипотенузе $KL$ так, что длины отрезков $DL$, $DM$ и $DK$ различны и образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию со знаменателем $\sqrt{2}$, причём $DL=1$. Найдите величину угла $KMD$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC$, $\angle BAC=45^{\circ}$. Прямая $MN$ пересекает сторону $AC$ в точке $M$, а сторону $BC$ - в точке $N$, $AM=2\cdot MC$, $\angle NMC=60^{\circ}$. Найдите отношение площади треугольника $MNC$ к площади четырёхугольника $ABNM$.
Подробнее
На сторонах острого угла $ABC$ взяты точки $A$ и $C$. Одна окружность касается прямой $AB$ в точке $B$ и проходит через точку $C$. Вторая окружность касается прямой $BC$ в точке $B$ и проходит через точку $A$. Точка $D$ - вторая общая точка окружностей. Известно, что $AB=a$, $CD=b$, $BC=c$. Найти $AD$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ взяты точка $N$ на стороне $AB$, а точка $M$ - на стороне $AC$. Отрезки $CN$ и $BM$ пересекаются в точке $O$, $AN:NB=2:3$, $BO:OM=5:2$. Найдите $CO:ON$.
Подробнее
В ромбе $ABCD$ высоты $BP$ и $BQ$ пересекают диагональ $AC$ в точках $M$ и $N$ ($M$ между $A$ и $N$), $AM=p$, $MN=q$. Найдите $PQ$.
Подробнее
В равнобочную трапецию $ABCD$ ($BC\parallel AD$) вписана окружность, $BC:AD=1:3$, площадь трапеции равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдите $AB$.
Подробнее
Через точку $N$ проведены две прямые, касающиеся некоторой окружности с центром $O$. На одной из этих прямых взята точка $A$, а на другой прямой взята точка $B$ так, что $OA=OB$, $OA\gt ON$, $NA\ne NB$. Известно, что $NA=a$, $NB=b$, $OA=c$. Найдите $ON$.
Подробнее
Точка $C$ делит хорду $AB$ окружности радиуса 6 на отрезки $AC=4$ и $CB=5$. Найдите минимальное из расстояний от точки $C$ до точек окружности.
Подробнее
Внутри прямоугольного треугольника $ABC$ (угол $C$ - прямой) взята точка $O$ так, что $OA=OB=b$. В треугольнике $ABC$ $CD$ - высота, точка $E$- середина отрезка $OC$, $DE=a$. Найдите $CE$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=14$, $BC=6$, $AC=10$. Биссектрисы $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $O$. Найдите $OD$.
Подробнее
Докажите, что площадь остроугольного треугольника равна среднему геометрическому площадей его ортотреугольника и треугольника, образованного пересечениями касательных к описанной окружности, проведённых через вершины исходного треугольника.
Подробнее
Окружность проходит через вершину $B$ треугольника $ABC$, касается стороны $AC$ в её середине $D$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, $AB:BC=3:2$. Найдите отношение площади треугольника $AMD$ к площади треугольника $DNC$.
Подробнее