На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ так, что $CD=\sqrt{13}$ и $\sin\angle ACD:\sin\angle BCD=4:3$. Через середину отрезка $CD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $\angle ACB=120^{\circ}$, площадь треугольника $MCN$ равна $3\sqrt{3}$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ в 2 раза больше расстояния от точки $N$ до этой же прямой. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Подробнее
Даны две окружности. Первая окружность вписана в треугольник $ABC$, вторая касается стороны $AC$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$. Известно, что эти окружности касаются друг друга, произведение их радиусов равно 20, а угол $BAC$ равен $\arccos\frac{2}{3}$. Найдите периметр треугольника $ABC$.
Подробнее
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Окружность радиуса 35, центр которой лежит на прямой $BC$, проходит через точки $A$ и $D$. Известно, что $AB^{2}-AC^{2}=216$, а площадь треугольника $ABC$ равна $90\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) отношение расстояний от центра вписанной в треугольник $ABC$ окружности до вершин углов $B$ и $C$ соответственно равно $k$. Найдите углы треугольника $ABC$. Каковы возможные значения $k$?
Подробнее
Дан параллелограмм $ABCD$, у которого $AB=3$, $AD=\sqrt{3}+1$ и $\angle BAD=60^{\circ}$. На стороне $AB$ взята такая точка $K$, что $AK:KB=2:1$. Через точку $K$ параллельно $AD$ проведена прямая. На этой прямой внутри параллелограмма выбрана точка $L$, а на стороне $AD$ выбрана точка $M$ так, что $AM=KL$. Прямые $BM$ и $CL$ пересекаются в точке $N$. Найдите угол $BKN$.
Подробнее
Две окружности радиусов $\sqrt{19}$ и $\sqrt{76}$, касающиеся друг друга внешним образом, вписаны в полуокружность (т.е. каждая из окружностей касается этой полуокружности и её диаметра). Найдите радиус полуокружности.
Подробнее
Медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна половине стороны $BC$. Угол между $AM$ и высотой $AH$ равен $40^{\circ}$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Подробнее
В треугольнике $KMN$ известны $\sin\angle KNM=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\angle KMN=\frac{1}{3}$. Найдите отношение длин высот, опущенных соответственно из вершины $N$ на сторону $MK$ и из вершины $M$ на сторону $NK$.
Подробнее
В трапецию с основаниями 3 и 5 можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Вычислите площадь пятиугольника, образованного радиусами вписанной окружности, перпендикулярными боковым сторонам трапеции, её меньшим основанием и соответствующими отрезками боковых сторон.
Подробнее
Окружность, проходящая через вершину $A$ треугольника $ABC$, касается стороны $BC$ в точке $M$ и пересекает стороны $AC$ и $AB$ соответственно в точках $L$ и $K$, отличных от вершины $A$. Найдите отношение $AC:AB$, если известно, что длина отрезка $LC$ в два раза больше длины отрезка $KB$, а $CM:BM=3:2$.
Подробнее
Прямая, проходящая через вершину основания равнобедренного треугольника, делит его площадь пополам, а периметр треугольника делит на части длиной 5 и 7. Найдите площадь треугольника и укажите, где лежит центр описанной окружности: внутри или вне треугольника.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ угол $C$ - прямой, отношение медианы $CM$ к биссектрисе $CN$ равно $\sqrt{6}:1$, высота $CK=2$. Найдите площади треугольников $CNK$ и $ABC$.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведены биссектриса $CD$ и прямая $DE$, перпендикулярная $CD$ (точка $E$ лежит на прямой $AC$). Найдите площадь треугольника $ABC$, если $CE=4$, $CA=3$.
Подробнее
Окружность пересекает стороны угла $BAC$ в точках $B$, $N$, $M$ и $C$, точка $N$ находится между $A$ и $B$, точка $M$ - между $A$ и $C$. Величины углов $ACB$ и $BMC$ равны $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{4}$ соответственно, $BN=2MN$. Чему равна величина угла $BAC$?
Подробнее
Прямоугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность. Из вершины $C$ прямого угла проведена хорда $CM$, пересекающая гипотенузу в точке $K$. Найдите площадь треугольника $ABM$, если $AK:AB=1:4$, $BC=\sqrt{2}$, $AC=2$.
Подробнее