В треугольнике $ABC$ точки $E$ и $F$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Точка $G$ лежит на отрезке $EF$ так, что $EG:AE=1:2$ и $FG=BE$. Найдите:
а) отношение площадей треугольников $ABG$ и $AGC$;
б) $\angle GCA$, если $\angle AGC=90^{\circ}$.
Подробнее
В треугольнике $PQR$ точка $T$ лежит на стороне $PR$, $\angle QTR=\angle PQR$, $PT=8$, $TR=1$. Найдите
1) сторону $QR$;
2) $\angle QRP$, если радиус описанной около треугольника $PQT$ окружности равен $3\sqrt{3}$.
Подробнее
В трапеции $BCDE$ основание $BE=13$, основание $CD=3$, $CE=10$. На описанной около трапеции $BCDE$ окружности взята отличная от $E$ точка $A$ так, что $CA=10$. Найдите длину отрезка $BA$ и площадь пятиугольника $ABCDE$.
Подробнее
На катете $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону $AB$ в точке $E$. На стороне $BC$ взята точка $G$ так, что отрезок $AG$ пересекает окружность в точке $F$, причём отрезки $EF$ и $AC$ параллельны, $BG=2CG$ и $AC=2\sqrt{3}$. Найдите $GF$.
Подробнее
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность радиуса 2. Угол $\angle DAB$ - прямой. Сторона $AB$ равна 5, сторона $BC$ равна 6. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.
Подробнее
Диагональ $AC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ является диаметром описанной около него окружности. Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $ACD$, если известно, что диагональ $BD$ делит $AC$ в отношении $2:1$ (считая от точки $A$), а $\angle BAC=30^{\circ}$.
Подробнее
Определите угол $A$ между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины $A$, равна $\sqrt{7}$.
Подробнее
Через центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, провели прямую $MN$ параллельно основанию $AB$ ($M$ лежит на $BC$, $N$ - на $AC$). Найдите периметр четырёхугольника $ABMN$, если известно, что $AB=5$, $MN=3$.
Подробнее
В трапеции $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны и $CD=2AB$. На сторонах $AD$ и $BC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $DP:PA=2$, $BQ:QC=3:4$. Найдите отношение площадей четырёхугольников $ABQP$ и $CDPQ$.
Подробнее
Полуокружность радиуса $r$ разделена точками на 3 равные части, и точки деления соединены хордами с одним и тем же концом диаметра, стягивающего эту полуокружность. Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя хордами и заключённой между ними дугой.
Подробнее
Окружность радиуса 3 проходит через середины трёх сторон треугольника $ABC$, в котором углы при вершинах $A$ и $B$ равны $60^{\circ}$ и $45^{\circ}$ соответственно. Найдите площадь треугольника.
Подробнее
Окружность радиуса 2 проходит через середины трёх сторон треугольника $ABC$, в котором углы при вершинах $A$ и $B$ равны $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$ соответственно. Найдите высоту, проведённую из вершины $A$.
Подробнее
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ такая, что $\angle CAD=2\angle DAB$. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ADC$ и $ADB$, равны соответственно 8 и 4, а расстояние между точками касания этих окружностей с прямой $BC$ равно $\sqrt{129}$. Найдите $AD$.
Подробнее
На координатной плоскости $(x;y)$ проведена окружность радиуса 4 с центром в начале координат. Прямая, заданная уравнением $y=4-(2-\sqrt{3})x$, пересекает её в точках $A$ и $B$. Найдите сумму длин отрезка $AB$ и меньшей дуги $AB$.
Подробнее
В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle ACB=75^{\circ}$, а высота, опущенная из вершины этого угла, равна 1. Найдите радиус описанной окружности, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен $4+\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
Подробнее