Длины сторон треугольника $ABC$ равны 4, 6 и 8. Вписанная в этот треугольник окружность касается его сторон в точках $D$, $E$ и $F$. Найдите площадь треугольника $DEF$.
Подробнее
Высота трапеции $ABCD$ равна 5, а основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 3 и 5. Точка $E$ находится на стороне $BC$, причём $BE=2$, $F$ - середина стороны $CD$, а $M$ - точка пересечения отрезков $AE$ и $BF$. Найдите площадь четырёхугольника $AMFD$.
Подробнее
Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах высот треугольника $ABC$ в четыре раза меньше площади ортотреугольника треугольника $ABC$.
Подробнее
В равнобедренной трапеции средняя линия равна $m$, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь этой трапеции.
Подробнее
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны между собой, $AC=2$, а $\angle ACB=30^{\circ}$. Из вершины $A$ к боковой стороне $BC$ проведены биссектриса $AE$ и медиана $AD$. Найдите площадь треугольника $ADE$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $90^{\circ}$, $AB=BC=2$. На основании $AC$ взяты точки $K$ и $L$ так, что три угла между $BA$ и $BK$, $BK$ и $BL$, $BL$ и $BC$ соответственно равны между собой. Найдите длину отрезка $BK$.
Подробнее
Определите величину угла между часовой и минутной стрелками часов, показывающими 1 час 10 минут при условии, что обе стрелки движутся с постоянными скоростями.
Подробнее
Определите величину угла между часовой и минутной стрелками часов, показывающими 4 ч 10 мин при условии, что обе стрелки движутся с постоянными скоростями.
Подробнее
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $c$, а один из острых углов равен $\alpha$. В треугольник помещены две окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается одного из катетов, гипотенузы и другой окружности. Найдите радиусы этих окружностей.
Подробнее
Внутри прямоугольного треугольника помещены две окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается одного из катетов, гипотенузы и другой окружности. Найдите радиусы этих окружностей, если катеты треугольника равны $a$ и $b$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $BM=BN$. Через точку $M$ проведена прямая, перпендикулярная $BC$, а через точку $N$ - прямая перпендикулярная $AB$. Эти прямые пересекаются в точке $O$. Продолжение отрезка $BO$ пересекает сторону $AC$ в точке $P$ и делит её на отрезки $AP=5$ и $PC=4$. Найдите длину отрезка $BP$, если известно, что $BC=6$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $BM=BN$. Через точку $M$ проведена прямая, перпендикулярная $BC$, а через точку $N$ - прямая перпендикулярная $AB$. Эти прямые пересекаются в точке $O$. Продолжение отрезка $BO$ пересекает сторону $AC$ в точке $P$ и делит её на отрезки $AP=6$ и $PC=3$. Найдите $BP$, если известно, что $BC=5$.
Подробнее
На одной стороне угла $O$ взяты точки $K$, $L$, $M$, а на другой - точки $P$, $Q$, $R$, так, что $KQ\perp PR$, $PL\perp KM$, $LR\perp PQ$, $QM\perp KL$. Отношение расстояния от центра описанной вокруг четырёхугольника $KPRM$ окружности до точки $O$ к длине отрезка $KP$ равно $\frac{17}{6}$. Найдите величину угла $O$.
Подробнее
Стороны ромба $EFGH$ являются гипотенузами равнобедренных прямоугольных треугольников $EAF$, $FDG$, $GCH$, $HBE$, причём все эти треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом $EFGH$. Сумма площадей четырёхугольника $ABCD$ и ромба $EFGH$ равна 12. Найдите $GH$.
Подробнее
