Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Найдите её длину, если $BC=CE$, площадь треугольника $ADE$ равна площади треугольника $CDE$, площадь треугольника $ABC$ равна площади треугольника $BCD$, а $3AC+2BD=5\sqrt{5}$.
Подробнее
В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите сумму длин второй и третьей окружностей, если радиус первой равен 1, а площадь круга, ограниченного четвёртой окружностью, равна $64\pi$.
Подробнее
В выпуклом шестиугольнике $ABCDEF$ все внутренние углы при вершинах равны. Известно, что $AB=3$, $BC=4$, $CD=5$ и $EF=1$. Найдите длины сторон $DE$ и $AF$.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике с основанием $AC$ проведена биссектриса угла $C$, которая пересекает боковую сторону $AB$ в точке $D$. Точка $E$ лежит на основании $AC$ так, что $DE\perp DC$. Найдите $AD$, если $CE=2$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов при вершинах $A$ и $C$ пересекаются в точке $D$. Найдите радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности, если радиус окружности с центром в точке $O$, описанной около треугольника $ADC$, равен $R=6$, и $\angle ACO=30^{\circ}$.
Подробнее
Из точки $C$ проведены две касательные к окружности. Точки $A$ и $B$ - точки касания. На окружности взята произвольная точка $M$, отличная от $A$ и $B$. Из точки $M$ опущены перпендикуляры $MN$, $ME$, $MD$ на стороны $AB$, $BC$, $CA$ соответственно. Найдите площадь треугольника $MNE$, если известны стороны $MN=4$, $MD=2$ и угол $\angle ACB=120^{\circ}$.
Подробнее
Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB=6$, $AC=4$, $BC=8$. Точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ - на стороне $AC$, причём $AD=2$, $AE=3$. Найдите площадь треугольника $ADE$.
Подробнее
В треугольник $ABC$ со сторонами $AB=6$, $BC=5$, $AC=7$ вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне $AC$, одна на стороне $AB$ и одна на стороне $BC$. Через середину $D$ стороны $AC$ и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой $BH$ треугольника $ABC$ в точке $M$. Найдите площадь треугольника $DMC$.
Подробнее
Окружность проходит через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ и касается прямой $AC$ в точке $A$. Найдите радиус окружности, если $\angle BAC=\alpha$, $\angle ABC=\beta$ и площадь треугольника $ABC$ равна $S$.
Подробнее
Через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена окружность, которая пересекает сторону $AB$ в точке $K$ и сторону $AC$ в точке $L$. Найдите $AB$, если $AK=KB$, $AL=l$, $\angle BCK=\alpha$, $\angle CBL=\beta$.
Подробнее
Длины сторон треугольника $ABC$ равны 4, 6 и 8. Вписанная в этот треугольник окружность касается его сторон в точках $D$, $E$ и $F$. Найдите площадь треугольника $DEF$.
Подробнее
Высота трапеции $ABCD$ равна 5, а основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 3 и 5. Точка $E$ находится на стороне $BC$, причём $BE=2$, $F$ - середина стороны $CD$, а $M$ - точка пересечения отрезков $AE$ и $BF$. Найдите площадь четырёхугольника $AMFD$.
Подробнее
Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах высот треугольника $ABC$ в четыре раза меньше площади ортотреугольника треугольника $ABC$.
Подробнее
В равнобедренной трапеции средняя линия равна $m$, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь этой трапеции.
Подробнее
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей.
Подробнее
