Докажите, что для любого треугольника верно неравенство $R\geq2r$, где $R$ и $r$ - радиусы описанной и вписанной окружностей, причём равенство имеет место только для правильного треугольника.
Подробнее
Пусть точка $C$ - середина дуги $AB$ некоторой окружности, а $D$ - любая другая точка этой дуги. Докажите, что $AC+BC\gt AD+BD$.
Подробнее
При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом $30^{\circ}$ и периметром 6 имеет наибольшую площадь?
Подробнее
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна $h$. Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?
Подробнее
В треугольник с периметром $2p$ вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключённого внутри треугольника.
Подробнее
В некотором царстве, в некотором государстве есть несколько городов, причём расстояния между ними все попарно различны. В одно прекрасное утро из каждого города вылетает по одному самолёту, который приземляется в ближайшем соседнем городе. Может ли в одном городе приземлиться более пяти самолётов?
Подробнее
На плоскости даны прямая $l$ и две точки $P$ и $Q$, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой $l$ такую точку $M$, для которой расстояние между основаниями высот треугольника $PQM$, опущенных на стороны $PM$ и $QM$, наименьшее.
Подробнее
Две высоты треугольника равны 10 и 6. Докажите, что третья высота меньше 15.
Подробнее
Найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин данного выпуклого четырёхугольника минимальна.
Подробнее
Среди всех четырёхугольников с данными диагоналями и данным углом между ними найдите четырёхугольник наименьшего периметра.
Подробнее
Каждая сторона выпуклого четырёхугольника меньше $a$. Докажите, что его площадь меньше $a^{2}$.
Подробнее
Точка $M$ лежит на стороне $AC$ остроугольного треугольника $ABC$. Вокруг треугольников $ABM$ и $CBM$ описываются окружности. При каком положении точки $M$ площадь общей части ограниченных ими кругов будет наименьшей?
Подробнее
Две стороны треугольника равны 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.
Подробнее
На диаметре $AC$ некоторой окружности дана точка $E$. Проведите через неё хорду $BD$ так, чтобы площадь четырёхугольника $ABCD$ была наибольшей.
Подробнее
Высота треугольника в два раза меньше его основания, а один из углов при основании равен $75^{\circ}$. Докажите, что треугольник равнобедренный.
Подробнее