Докажите, что среди всех треугольников с данным основанием и высотой, опущенной на это основание, наибольшую величину противолежащего угла имеет равнобедренный треугольник.
Подробнее
Диагонали выпуклого четырёхугольника равны $d_{1}$ и $d_{2}$. Какое наибольшее значение может иметь его площадь?
Подробнее
Докажите, что среди всех треугольников $ABC$ с фиксированным углом $\angle A=\alpha$ и площадью $S$ наименьшую сторону $BC$ имеет равнобедренный треугольник с основанием $BC$.
Подробнее
Дан угол $XAY$ и точка $O$ внутри него. Проведите через точку $O$ прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.
Подробнее
Проведите через вершину $A$ остроугольного треугольника $ABC$ прямую так, чтобы она не пересекала сторону $BC$ и чтобы сумма расстояний до неё от вершин $B$ и $C$ была наибольшей.
Подробнее
Пусть $AA_{1}$ и $BB_{1}$ - медианы треугольника $ABC$. Докажите, что $AA_{1}+BB_{1}\gt\frac{3}{2}AB$.
Подробнее
На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки соответственно $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$. Известно, что отрезки $AA_{1}$, $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что сумма $MA_{1}+MB_{1}+MC_{1}$ не превосходит наибольшей стороны треугольника $ABC$.
Подробнее
Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую, на которой окружности высекают хорды, сумма которых наибольшая. (Центры окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды.)
Подробнее
В четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ делит другую диагональ пополам и $BC+CD=AB+AD$. Докажите, что $ABCD$ - параллелограмм.
Подробнее
Даны $n$ точек $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку $M$, для которой $MA_{1}+MA_{2}+\ldots+MA_{n}\geq n$.
Подробнее
На плоскости даны $n$ красных и $n$ синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести $n$ отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.
Подробнее
Докажите, что если стороны треугольника удовлетворяют неравенству $a^{2}+b^{2}\gt5c^{2}$, то $c$ - наименьшая сторона.
Подробнее
Внутри треугольника $ABC$ взята точка $M$. Докажите, что
$AM\cdot BC+BM\cdot AC+CM\cdot AB\geq4S,$
где $S$ - площадь треугольника $ABC$.
Подробнее
Пусть $h_{1}$, $h_{2}$, $h_{3}$ - высоты треугольника, $r$ - радиус вписанной окружности. Докажите, что $h_{1}+h_{2}+h_{3}\geq9r$.
Подробнее
Известно, что в треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^{\circ}$. Докажите, что $AB+AC\leq2BC$.
Подробнее