Периметр выпуклого четырёхугольника равен 4. Докажите, что площадь четырёхугольника не превосходит 1.
Подробнее
Пусть $E$, $F$, $G$, $H$ - середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Докажите, что $S_{ABCD}\leq EG\cdot HF$.
Подробнее
Стороны треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит $\frac{\sqrt{3}}{4}$.
Подробнее
Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах соответственно $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, причём $AM=CN$ и $AN=BM$. Докажите, что площадь четырёхугольника $BMNC$ по крайней мере в три раза больше площади треугольника $AMN$.
Подробнее
Внутри квадрата со стороной 1 расположено $n$ точек. Докажите, что площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках или в вершинах квадрата не превосходит $\frac{1}{2(n+1)}$.
Подробнее
Докажите, что если $a$, $b$, $c$ - стороны произвольного треугольника, то $a^{2}+b^{2}\gt\frac{c^{2}}{2}$.
Подробнее
Пусть $m_{a}$ и $m_{b}$ - медианы, проведённые к сторонам $a$ и $b$ треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$. Докажите, что $m^{2}_{a}+m^{2}_{b}\gt\frac{9}{8}c^{2}$.
Подробнее
Докажите, что если треугольник не тупоугольный, то сумма трёх его медиан не меньше, чем учетверённый радиус описанной окружности.
Подробнее
Пусть $h_{1}$ и $h_{2}$ - высоты треугольника, $r$ - радиус вписанной окружности. Докажите, что $\frac{1}{2r}\lt\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}\lt\frac{1}{r}$.
Подробнее
Радиус вписанной окружности треугольника равен $\frac{1}{3}$. Докажите, что наибольшая высота треугольника не меньше 1.
Подробнее
Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше 1.
Подробнее
Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Подробнее
Пусть $ABCD$ и $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ - два выпуклых четырёхугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если $\angle A\gt\angle A_{1}$, то $\angle B\lt\angle B_{1}$, $\angle C\gt\angle C_{1}$, $\angle D\lt\angle D_{1}$.
Подробнее
Среди всех треугольников с заданными сторонами $AB$ и $AC$ найдите тот, у которого наибольшая площадь.
Подробнее
Внутри треугольника $ABC$ найдите точку, из которой сторона $AB$ видна под наименьшим углом.
Подробнее