В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ равны углы при вершинах $A$ и $B$. Известно также, что $BC=1$ и $AD=3$. Докажите, что $CD\gt2$.
Подробнее
$AB$ - хорда окружности, делящая её на два сегмента. $M$ и $N$ - середины дуг, на которые делят окружность точки $A$ и $B$. При повороте вокруг точки $A$ на некоторый угол точка $B$ переходит в точку $B'$, а точка $M$ - в точку $M'$. Докажите, что отрезки, соединяющие середину отрезка $BB'$ с точками $M'$ и $N$, перпендикулярны.
Подробнее
Подобные прямоугольные треугольники $ABC$ и $A'B'A$ с прямыми углами при вершинах $B$ и $B'$ расположены на плоскости так, что точка $A'$ лежит на луче $BC$ за точкой $C$. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $A'AC$, лежит на прямой $A'B'$.
Подробнее
Точка $D$, отличная от вершин $A$ и $B$ треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$, причём $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$. Докажите, что угол $ACB$ - тупой.
Подробнее
Окружность, вписанная в угол с вершиной $O$, касается его сторон в точках $A$ и $B$. Луч $OX$ пересекает эту окружность в точках $C$ и $D$, причём $OC=CD=1$. Если $M$ - точка пересечения луча $OX$ и отрезка $AB$, то чему равна длина отрезка $OM$?
Подробнее
Внутри стороны $BC$ правильного треугольника $ABC$ взята точка $D$. Прямая, проходящая через точку $C$ и параллельная $AD$, пересекает прямую $AB$ в точке $E$. Докажите, что $\frac{CE}{CD}\geq2\sqrt{3}$.
Подробнее
Точка $M$ взята на стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $C$ отмечена точка $N$, причём $BM=MN$. Докажите, что $AM=CN$
Подробнее
Точка $M$ - середина стороны $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $\angle AMD=120^{\circ}$. Докажите неравенство $AB+\frac{1}{2}BC+CD\gt AD$.
Подробнее
Точка $M$ находится внутри диаметра $AB$ окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки $P$ и $Q$, причём отрезки $PM$ и $QM$ образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые $PQ$ проходят через одну точку.
Подробнее
Из точки $T$ провели касательную $TA$ и секущую, пересекающую окружность в точках $B$ и $C$. Биссектриса угла $ATC$ пересекает хорды $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что $PA=\sqrt{PB\cdot QC}$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ угол при вершине $B$ вдвое больше угла при вершине $C$. Окружность с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает серединный перпендикуляр к отрезку $BC$ в точке $P$ (внутри треугольника). Докажите, что угол $PAC$ в три раза меньше угла $BAC$.
Подробнее
В окружность вписан четырёхугольник $ABCD$. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, а прямые $BC$ и $AD$ - в точке $N$. Известно, что $BM=DN$. Докажите, что $CM=CN$.
Подробнее
Внутри треугольника $ABC$ расположена окружность, которая касается его сторон $AB$ и $BC$, а также проходит через точку $P$ - центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Через точки $A$, $P$ и $C$ проведена другая окружность. Докажите, что эти окружности касаются друг друга.
Подробнее
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, причём $BD+DE=BC$ и $BE+ED=AB$. Известно также, что четырёхугольник $ADEC$ - вписанный. Докажите, что треугольник $ABC$ - равнобедренный.
Подробнее
Точки $K$ и $N$ расположены соответственно на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, причём $AK=BK$ и $AN=2NC$. В каком отношении отрезок $KN$ делит медиану $AM$ треугольника $ABC$?
Подробнее