Основание $D$ высоты $AD$ треугольника $ABC$ лежит на стороне $BC$, причём $\angle BAD\gt\angle CAD$. Что больше, $AB$ или $AC$?
Подробнее
Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырёхугольника. Где нужно вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырёх домов была наименьшей?
Подробнее
Докажите, что отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника с точкой, лежащей на основании, не больше боковой стороны треугольника.
Подробнее
Биссектриса угла при основании $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекает боковую сторону $AC$ в точке $K$. Докажите, что $BK\lt2CK$.
Подробнее
Две окружности радиусов $r$ и $R$ ($r\lt R$) пересекаются. Докажите, что расстояние между их центрами меньше, чем $r+R$, но больше, чем $R-r$.
Подробнее
Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 3 равно 8. Найдите наименьшее и наибольшее из расстояний между точками, одна из которых лежит на первой окружности, а другая - на второй.
Подробнее
Докажите, что каждая сторона треугольника видна из центра вписанной окружности под тупым углом.
Подробнее
Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами. Докажите, что чем больше угол при вершине, тем меньше высота, опущенная на основание.
Подробнее
Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами. Докажите, что чем больше основание, тем меньше проведённая к нему высота.
Подробнее
Дан выпуклый $n$-угольник, все углы которого тупые. Докажите, что сумма его диагоналей больше периметра.
Подробнее
Биссектриса треугольника делит его сторону на два отрезка. Докажите, что к большей из двух других сторон треугольника примыкает больший из них.
Подробнее
$BD$ - биссектриса треугольника $ABC$, причём $AD\gt CD$. Докажите, что $AB\gt BC$.
Подробнее
Даны точки $A$ и $B$. Найдите геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых до точки $A$ больше, чем расстояние до точки $B$.
Подробнее
Точки $D$ и $E$ - середины сторон соответственно $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Точка $M$ лежит на стороне $AC$, причём $ME\gt EC$. Докажите, что $MD\lt AD$.
Подробнее
Точка $C$ лежит внутри прямого угла $AOB$. Докажите, что периметр треугольника $ABC$ больше $2OC$.
Подробнее