Про числа $а$ и $b$ известно, что неравенство
$a \cos x + b \cos 3x > 1$
не имеет решений. Докажите, что $|b| \leq 1$.
Подробнее
а) Пусть $m$ и $n$ - натуральные числа. Докажите, что если для некоторых неотрицательных целых чисел $k_1, k_2, \cdots, k_n$ число $2^{k_1} + 2^{k_2} + \cdots + 2^{k_n}$ делится на $2^m - 1$, то $n \geq m$.
б) Существует ли натуральное число, делящееся на $\underbrace{111 \cdots 1}_{m} $ и имеющее сумму цифр, меньшую чем $m$?
Подробнее
На координатной плоскости $Oxy$ нарисовали график функции $y = x^2$. Потом оси координат стерли - осталась только парабола. Как при помощи циркуля и линейки восстановить оси координат и единицу длины?
Подробнее
Даны несколько различных натуральных чисел, заключенных между квадратами двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что все их попарные произведения также различны.
Подробнее
Натуральное число $k$ в десятичной записи имеет $n$ знаков. Это число округлили с точностью до десятков, заменив последнюю цифру нулем и увеличив на единицу число десятков, если эта последняя цифра была больше четырех. Полученное число аналогичным образом округлили с точностью до сотен и так далее. В результате последнего $(n - 1)$-го округления получилось число $\tilde{k}$. Докажите, что $\tilde{k} < 18k/13$.
Подробнее
Величины $\alpha$ и $\beta$ двух острых углов удовлетворяют равенству $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin (\alpha + \beta)$. Докажите, что $\alpha + \beta = \frac{ \pi}{2}$.
Подробнее
Докажите, что среди любых $2m + 1$ различных целых чисел, не превосходящих по модулю $2m - 1$, можно найти три числа, сумма которых равна 0.
Подробнее
В бесконечном десятичном разложении действительного числа а встречаются все цифры. Пусть $v_n$ - количество различных цифровых отрезков длины $n$, встречающихся в этом разложении. Докажите, что если для некоторого $n$ выполнено условие $v_n \leq n + 8$, то число $a$ рационально.
Подробнее
По кругу записаны $n \geq 3$ натуральных чисел так, что для каждого числа отношение суммы его соседей к нему является натуральным числом. Докажите, что сумма всех таких отношений; а) не меньше $2n$; б) меньше $3n$.
Подробнее
Назовем натуральное число абсолютно простым, если оно простое и если при любой перестановке его цифр снова получается простое число. Докажите, что в записи абсолютно простого числа не может содержаться более трех различных цифр.
Подробнее
Последовательность $a_1, a_2, a_3, \cdots$ задается правилами: $a_{2n} = a_n$ при $n \geq 1$ и $a_{4n+1} = 1$, $a_{4n+3} = 0$ при $n \geq 0$. Докажите, что эта последовательность не имеет периода.
Подробнее
Числа $1, 2, 3, \cdots, 2n-1, 2n$ разбиты на две группы по $n$ чисел в каждой. Пусть $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ - числа первой группы, записанные в возрастающем порядке, и $a_1 > a_2 > a_n$ - числа второй группы в убывающем порядке. Докажите, что
$|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + \cdots + |a_n - b_n| = n^2$.
Подробнее
Докажите, что прямоугольную таблицу размером $m \times n$ клеток можно заполнить квадратами различных натуральных чисел так, чтобы суммы чисел в каждой строке и каждом столбце были также квадратами натуральных чисел.
Подробнее
Докажите, что для любых положительных чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$ выполнено неравенство
$\frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_1 + a_2} + \cdots + \frac {n}{a_1 + \cdots + a_n} < 4 \left ( \frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_n} \right )$.
Подробнее
Решить уравнение
$x^{2} + Зx + |x + 3| = 0$.
Подробнее