В равнобедренной трапеции $ABCD$ большее основание $AD=12$, $AB=6$. Найдите расстояние от точки $O$ пересечения диагоналей до точки $K$ пересечения продолжений боковых сторон, если продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.
Подробнее
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ равно 4, основание $BC$ равно 3, стороны $AB$ и $CD$ равны. Точки $M$ и $N$ лежат на диагонали $BD$, причём точка $M$ расположена между точками $B$ и $N$, а отрезки $AM$ и $CN$ перпендикулярны диагонали $BD$. Найдите $CN$, если $\frac{BM}{DN}=\frac{2}{3}$.
Подробнее
Трапеция $AEFG$ ($EF\parallel AG$) расположена в квадрате $ABCD$ со стороной 14 так, что точки $E$, $F$ и $G$ лежат на сторонах $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Диагонали $AF$ и $EG$ перпендикулярны, $EG=10\sqrt{2}$. Найдите периметр трапеции.
Подробнее
Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ равна 2, $\angle BAD=45^{\circ}$. Точки $E$ и $F$ расположены на диагонали $BD$, причём $\angle AEB=\angle CFD=90^{\circ}$, $BF=\frac{3}{2}BE$. Найдите площадь параллелограмма.
Подробнее
На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $K$ и $L$ так, что $AK=KL=LB$. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что $CK=\sqrt{2}CL$.
Подробнее
На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $\angle ACP=\angle PCQ=\angle QCB$. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что $4CP=3\sqrt{3}CQ$.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ находятся на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $AM=5$, $AN=2\sqrt{37}$, $CM=11$, $CN=10$.
Подробнее
Вершина $C$ прямоугольника $ABCD$ лежит на стороне $KM$ равнобедренной трапеции $ABKM$ ($BK\parallel AM$), $P$ - точка пересечения отрезков $AM$ и $CD$. Найдите углы трапеции и отношение площадей прямоугольника и трапеции, если $AB=2BC$, $AP=3BK$.
Подробнее
Точка $O$ - центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$ $(AB=BC)$. Прямая $AO$ пересекает отрезок $BC$ в точке $M$. Найдите углы и площадь треугольника $ABC$, если $AO=3$, $OM=\frac{27}{11}$.
Подробнее
В ромб $ABCD$ вписана окружность радиуса $R$, касающаяся стороны $AD$ в точке $M$ и пересекающая отрезок $MC$ в точке $N$ такой, что $MN=2NC$. Найдите углы и площадь ромба.
Подробнее
Точка $O$ - центр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию $ABCD$ $(BC\parallel AD)$. Прямая $AO$ пересекает отрезок $CD$ в точке $K$. Найдите углы и площадь трапеции, если $AO=5$, $OK=3$.
Подробнее
В равнобедренную трапецию $ABCD$ $(BC\parallel AD)$ вписана окружность радиуса $R$, касающаяся основания $AD$ в точке $P$ и пересекающая отрезок $BP$ в точке $Q$ такой, что $PQ=3BQ$. Найдите углы и площадь трапеции.
Подробнее
Равнобедренные треугольники $ABC$ $(AB=BC)$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ $(A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1})$ подобны и $AC:A_{1}C_{1}=5:\sqrt{3}$. Вершины $A_{1}$ и $B_{1}$ расположены соответственно на сторонах $AC$ и $BC$, а вершина $C_{1}$ - на продолжении стороны $AB$ за точку $B$, причём $A_{1}B_{1}$ перпендикулярно $BC$. Найдите угол $ABC$.
Подробнее
Равнобедренные треугольники $ABC$ $(AB=BC)$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ $(A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1})$ подобны и $AB:A_{1}B_{1}=2:1$. Вершины $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ расположены соответственно на сторонах $CA$, $AB$ и $BC$, причём $A_{1}B_{1}$ перпендикулярно $AC$. Найдите угол $ABC$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ перпендикуляр, проходящий через середину стороны $AB$, пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $M$, причём $\frac{MC}{MB}=\frac{1}{5}$. Перпендикуляр, проходящий через середину стороны $BC$, пересекает сторону $AC$ в точке $N$, причём $\frac{AN}{NC}=\frac{1}{2}$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Подробнее