Найдите площадь трапеции, если её диагонали равны 17 и 113, а высота равна 15.
Подробнее
Из вершины $A$ треугольника $ABC$ опущены перпендикуляры $AM$ и $AP$ на биссектрисы внешних углов $B$ и $C$. Докажите, что отрезок $PM$ равен половине периметра треугольника $ABC$.
Подробнее
На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ так, что $BM=CN$. Докажите, что середина отрезка $MN$ лежит на средней линии треугольника $ABC$, параллельной его основанию.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делится точкой пересечения высот пополам. Найдите углы этого треугольника.
Подробнее
Докажите, что если стороны $a$, $b$ и противолежащие им углы $\alpha$ и $\beta$ треугольника связаны соотношением $\frac{a}{\cos\alpha}=\frac{b}{\cos\beta}$, то треугольник - равнобедренный.
Подробнее
Докажите, что площадь прямоугольного треугольника с острым углом в $15^{\circ}$ равна одной восьмой квадрата гипотенузы.
Подробнее
Пусть $AE$ и $CD$ - биссектрисы равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). Докажите, что $\angle BED=2\angle AED$.
Подробнее
Пусть $AE$ и $CD$ - биссектрисы треугольника $ABC$, $\angle BED=2\angle AED$ и $\angle BDE=2\angle EDC$. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
Подробнее
Пусть $AE$ и $CD$ - биссектрисы треугольника $ABC$. Докажите, что если $\angle BDE:\angle EDC=\angle BED:\angle DEA$, то треугольник $ABC$ равнобедренный.
Подробнее
Через точку на стороне четырёхугольника проведена прямая, параллельная диагонали, до пересечения с соседней стороной четырёхугольника. Через полученную точку проведена прямая, параллельная другой диагонали, и т.д. Докажите, что пятая точка, полученная таким способом, совпадёт с исходной.
Подробнее
Через точку на стороне треугольника проведена прямая, параллельная другой стороне, до пересечения с третьей стороной треугольника. Через полученную точку проведена прямая, параллельная первой стороне треугольника и т.д. Докажите, что
а) если исходная точка совпадает с серединой стороны треугольника, то четвёртая точка, полученная таким способом, совпадёт с исходной;
б) если исходная точка отлична от середины стороны треугольника, то седьмая точка, полученная таким способом, совпадёт с исходной.
Подробнее
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Через точку $O$ проходят две прямые, которые параллельны прямым $AB$ и $AC$ и пересекаются с $BC$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что периметр треугольника $OED$ равен отрезку $BC$.
Подробнее
Докажите, что биссектрисы внешних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна сумме двух соседних сторон параллелограмма.
Подробнее
Докажите, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма, не являющегося ромбом, при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна разности двух соседних сторон параллелограмма.
Подробнее
Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что точки пересечения биссектрис каждого из треугольников $ABO$, $BCO$, $CDO$ и $DAO$ являются вершинами ромба.
Подробнее