На прямой расположены три точки $A$, $B$ и $C$, причём $AB=BC=3$. Три окружности радиуса $R$ имеют центры в точках $A$, $B$ и $C$. Найдите радиус четвёртой окружности, касающейся всех трёх данных, если а) $R=1$; б) $R=2$; в) $R=5$.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена биссектриса $CD$ угла $C$. На прямой $AC$ взята точка $E$ так, что $\angle EDC=90^{\circ}$. Найдите $EC$, если $AD=1$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна 4, а медиана, проведённая к этой стороне, равна 3. Найдите длину общей хорды двух окружностей, каждая из которых проходит через точку $A$ и касается $BC$, причём одна касается $BC$ в точке $B$, а вторая - в точке $C$.
Подробнее
Острый угол равнобедренной трапеции равен $75^{\circ}$. Прямые, проходящие через концы одного из оснований трапеции параллельно противоположным боковым сторонам, пересекаются на окружности, описанной около трапеции. Найдите отношение оснований трапеции.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^{\circ}$, $AB=1$, $BC=a$. Найдите $AC$.
Подробнее
Через вершину $C$ равностороннего треугольника $ABC$ проведена произвольная прямая, $K$ и $M$ - проекции точек $A$ и $B$ на эту прямую, $P$ - середина стороны $AB$. Докажите, что треугольник $KMP$ - равносторонний.
Подробнее
Сторона $AD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ является диаметром описанной окружности, $M$ - точка пересечения диагоналей, $P$ - проекция $M$ на $AD$. Докажите, что $M$ - центр окружности, вписанной в треугольник $BCP$.
Подробнее
Внутри угла с вершиной $O$ взята некоторая точка $M$. Луч $OM$ образует со сторонами угла углы, один из которого больше другого на $10^{\circ}$; $A$ и $B$ - проекции точки $M$ на стороны угла. Найдите угол между прямыми $AB$ и $OM$.
Подробнее
На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$ так, что прямые $AA_{1},BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в точке $M$. Рассмотрим четырёхугольники $AB_{1}MC_{1}$, $BC_{1}MA_{1}$ и $CA_{1}MB_{1}$. Докажите, что:
а) если два из этих четырёхугольников являются вписанными, то и третий также является вписанным;
б) если два из этих четырёхугольников являются описанными, то и третий также является описанным.
Подробнее
Две прямые пересекаются в точке $A$ под углом, не равным $90^{\circ}$; $B$ и $C$ - проекции точки $M$ на эти прямые. Найдите угол между прямой $BC$ и прямой, проходящей через середины отрезков $AM$ и $BC$.
Подробнее
В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе $AB$ проведена высота $CD$. На отрезках $CD$ и $DA$ взяты точки $E$ и $F$ соответственно, причём $\frac{CE}{CD}=\frac{AF}{AD}$. Докажите, что прямые $BE$ и $CF$ перпендикулярны.
Подробнее
Пусть $B$ и $C$ - две точки на сторонах угла с вершиной $A$. Окружности с диаметрами $AC$ и $AB$ вторично пересекаются в точке $D$. Прямая $AB$ вторично пересекает окружность с диаметром $AC$ в точке $K$, а прямая $AC$ вторично пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $M$. Докажите, что прямые $BM$, $CK$ и $AD$ пересекаются в одной точке.
Подробнее
Гипотенуза прямоугольного треугольника служит стороной квадрата, расположенного вне треугольника. Найдите расстояние между вершиной прямого угла треугольника и центром квадрата, если катеты треугольника равны $a$ и $b$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_{1}$ и $BB_{1}$. Найдите $AC$, если
а) $AA_{1}=4$, $BB_{1}=5$, $BC=6$;
б) $A_{1}C=8$, $B_{1}C=5$, $BB_{1}=12$.
Подробнее
Найдите радиус наименьшего круга, в котором можно разместить треугольник со сторонами 7, 9 и 12.
Подробнее